第2课时函数的最大值 最小值 函数的最大值和最小值1 最大值对于定义域为I的函数f x 条件 f x M f x0 M 结论 M是定义域为I的函数f x 的最大值 几何意义 函数y f x 图象上最 点的 思考 函数f x x2 1总成立吗 f x 的最大值是1吗 提示 f x x2 1总成立 但是不存在x0使f x0 1 所以f x 的最大值不是1 而是0 高 纵坐标 2 最小值对于定义域为I的函数f x 条件 结论 M是函数f x 在I上的最小值 几何意义 函数y f x 图象上最 点的 f x M f x0 M 低 纵坐标 判断 正确的打 错误的打 1 函数f x x的最小值是 2 函数f x x2在 1 3 上的最小值是 1 3 函数f x 2x在区间 1 3 上的最小值是 2 无最大值 提示 1 错误 函数f x x在 上无最大值和最小值 2 错误 当x 3时函数f x x2在 1 3 上取得最小值 9 3 正确 由于函数f x 2x在区间 1 3 上是增函数 故当x 1时函数取得最小值 2 函数无最大值 答案 1 2 3 知识点拨 1 最大值 最小值定义的理解 1 最大 小 值定义中具备的两个条件 对于定义域内全部元素 都有f x M f x M 成立 M首先是一个函数值 它是值域的一个元素 如f x x2的最大值是0 有f 0 0 注意定义中 存在 一词的理解 2 两条件缺一不可 若只有前者 M不是最大 小 值 如f x x2 1总成立 但1不是最大值 更不能只有后者 那样就丢掉了最大值的核心了 2 求最大值 最小值时的三个关注点 1 利用图象写出最值时要写最高 低 点的纵坐标 而不是横坐标 2 单调性法求最值勿忘求定义域 3 单调性法求最值 尤其是闭区间上的最值 不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误 求解时一定要注意 3 辨析函数的最值和值域 1 函数的最值和值域反映的是函数的整体性质 针对的是整个定义域 2 函数的值域一定存在 而函数的最大 小 值不一定存在 3 若函数的最值存在 则一定是值域中的元素 例如 函数f x x2对任意的x R 都有f x 1 但是f x 的最大值不是1 因为1不在f x 的值域内 类型一图象法求函数最值 值域 典型例题 1 函数y f x x 4 7 的图象如图 则其最大值 最小值为 A 3 2B 3 2C 3 0D 2 22 写出函数f x x 1 2 x x 3 的单调区间和最值 解题探究 1 利用图象法求函数的最值时应写最高 低 点的纵坐标 还是横坐标 2 题2中求函数的单调区间与最值时应按照怎样的思路求解 探究提示 1 利用图象写出最值时要写最高 低 点的纵坐标 而不是横坐标 2 应先作图象 找出单调区间 最后确定最值 解析 1 选B 观察图象知 图象的最高点 3 3 最低点 1 5 2 所以其最大值 最小值分别为3 2 2 其图象如下 由图象得单调递减区间为 1 单调递增区间为 2 3 有最小值3 无最大值 互动探究 把题2中的问题改为求f x 5的x的取值范围 解析 结合题2图象 令g x 5 则x的范围为x 2或x 3 拓展提升 利用图象法求函数最值 1 利用函数图象求函数最值是求函数最值的常用方法 对图象易作出的函数常用 2 图象法求最值的一般步骤 类型二单调性法求函数的最值 值域 典型例题 1 已知函数f x x2 2x a x 0 2 有最小值 2 则f x 的最大值为 A 4B 6C 1D 22 函数f x x 0 1 求证 f x 在 0 上是增函数 2 若函数f x 的定义域与值域都是 2 求a的值 解题探究 1 二次函数在闭区间内求最值的关键是什么 2 题2 1 证明f x 的单调性的一般步骤是什么 它对解决 2 是否有作用 探究提示 1 求二次函数f x 在某区间 m n 上的最值的关键是判断函数在 m n 内的单调性 2 证明f x 单调性的步骤为取值 作差变形 定号 判断 结论 可以利用其单调性解决 2 中的值域问题 进而求出a的值 解析 1 选B f x x2 2x a x 0 2 为增函数 所以最小值为f 0 a 2 最大值为f 2 8 a 6 2 1 任取x1 x2 0 且x1 x2 则 f x1 f x2 即f x 在 0 上是增函数 2 由 1 知 f x 在 0 上是增函数 所以若函数f x 的定义域与值域都是 2 则即解得a 拓展提升 1 利用单调性求最值的一般步骤 1 判断函数的单调性 2 利用单调性写出最值 2 利用单调性求最值的三个常用结论 1 如果函数f x 在区间 a b 上是增 减 函数 则f x 在区间 a b 的左 右端点处分别取得最小 大 值和最大 小 值 2 如果函数f x 在区间 a b 上是增函数 在区间 b c 上是减函数 则函数f x 在区间 a c 上有最大值f b 3 如果函数f x 在区间 a b 上是减函数 在区间 b c 上是增函数 则函数f x 在区间 a c 上有最小值f b 变式训练 已知函数f x x 2 5 求其最大值与最小值 解析 任意取x1 x2 2 5 且x10 所以f x x 2 5 是减函数 f 5 f x f 2 故f x 的最大值为f 2 2 最小值为f 5 类型三函数最值的应用 典型例题 1 绿园商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料 根据以前的统计数据 若零售价定为每瓶4元 每月可销售400瓶 若零售价每降低 升高 0 5元 则可多 少 销售40瓶 在每月的进货当月销售完的前提下 为获得最大利润 销售价应定为 元 瓶 2 一个运动员推铅球 铅球刚出手时离地面m 铅球落地点距刚出手时相应地面上的点10m 铅球运动中最高点离地面3m 如图 已知铅球走过的路线是抛物线 求该抛物线表示的函数的解析式 解题探究 1 解实际应用问题时需要考虑定义域吗 2 二次函数解析式有哪几种设法 探究提示 1 需要考虑定义域 因为解应用题 就是确定函数 求函数最值的问题 应时刻牢记函数的定义域 不仅使函数式有意义 而且还要与实际问题相符合 2 1 一般式 y ax2 bx c a 0 已知抛物线上任意三点时 通常设函数解析式为一般式 然后列出三元一次方程组求解 2 顶点式 y a x h 2 k a 0 已知抛物线的顶点坐标或对称轴方程时 通常设函数解析式为顶点式 3 两根式 y a x x1 x x2 a 0 已知二次函数与x轴的两个交点或已知与二次函数对应的一元二次方程的两个实根时 经常采用两根式 解析 1 设销售价每瓶定为x元 利润为y元 则y x 3 400 40 80 x 3 9 x 80 x 6 2 720 x 3 所以x 6时 y取最大值 答案 62 由题意 抛物线的最大值为3 故设抛物线方程为y a x h 2 3 a 0 又其过点 0 10 0 所以解得抛物线方程为y x 4 2 3 x 0 10 拓展提升 解实际应用题的四个步骤 1 审题 解读实际问题 找出已知条件 未知条件 确定自变量和因变量的条件关系 2 建模 建立数学模型 列出函数关系式 3 求解 分析函数性质 利用数学知识探究问题解法 一定注意自变量的取值范围 4 回归 数学问题回归实际问题 写出答案 变式训练 快艇和轮船分别从A地和C地同时开出 如图 各沿箭头方向航行 快艇和轮船的速度分别是45千米 时和15千米 时 已知AC 150千米 在快艇到达C地之前 经过多少时间 快艇和轮船之间的距离最短 解析 设经过x小时后快艇和轮船之间的距离最短 距离设为y 由150 45 知定义域为 x 0 x 可求得当x 3时 y有最小值 故经过3小时 快艇与轮船之间的距离最短 二次函数在区间上的最值 典型例题 1 已知函数f x x2 2ax 2 x 1 1 求函数f x 的最小值 2 设函数f x x2 2x 2 x t t 1 t R 求函数f x 的最小值 解析 1 f x x2 2ax 2 x a 2 2 a2的图象开口向上 且对称轴为直线x a 当a 1时 函数图象如图 1 所示 函数f x 在区间 1 1 上是减函数 最小值为f 1 3 2a 当 1 a 1时 函数图象如图 2 所示 函数f x 在区间 1 1 上是先减后增 最小值为f a 2 a2 当a 1时 函数图象如图 3 所示 函数f x 在区间 1 1 上是增函数 最小值为f 1 3 2a 2 f x x2 2x 2 x 1 2 1 x t t 1 t R 对称轴为直线x 1 当t 11时 函数图象如图 3 所示 函数f x 在区间 t t 1 上为增函数 所以最小值为f t t2 2t 2 拓展提升 求二次函数f x ax2 bx c a 0 在区间 m n 上的最值的类型 1 若对称轴x 在区间 m n 内 则最小值为f 最大值为f m f n 中较大者 或区间端点m n中与x 距离较远的一个对应的函数值为最大值 2 若对称轴x n 则f x 在区间 m n 上是减函数 最大值为f m 最小值为f n 规范解答 利用函数的单调性求最值问题 规范解答 设x1 x2为 1 2 上的任意两个实数 且x1 x2 1分 典例 条件分析 则f x1 f x2 5分 x1 x2 1 2 且x1 x2 x1 x2 0 x1x2 1 4 x1x2 90 f x1 f x2 函数f x x 在 1 2 上为减函数 10分所以当x 1时取最大值 最大值f 1 10 当x 2时取最小值 最小值f 2 从而函数的最大值是f 1 10 最小值是f 2 12分 失分警示 防范措施 1 对单调性定义的把握在函数的定义域中任给x1f x2 的关系 从而得出是增函数还是减函数 如本例中f x1 f x2 0 得出f x1 f x2 从而判定为减函数 2 单调性与最值的关系利用函数的单调性可以求出函数的最值 这是求最值常用的方法之一 在求函数的最值时要时刻牢记 如本例中证明f x 在 1 2 上为减函数后 可直接求出其对应的最大值与最小值 类题试解 已知函数f x x2 6x 9在区间 a b a b 3 上有最大值9 最小值 7 求实数a b的值 解析 f x x2 6x 9 x 3 2 18 则f x 在 3 上为增函数 因为a b 3 所以当x a时 函数取得最小值ymin 7 当x b时 函数取得最大值ymax 9 即解得 a 8或 2 b 0或6 故a 2 b 0 1 函数f x 2x x2的最大值是 A 1B 0C 1D 2 解析 选C 函数f x 2x x2开口向下 对称轴为x 1 当x 1时 取得最大值1 2 函数y 2x2 1 x N 的最值情况是 A 无最大值 最小值是1B 无最大值 最小值是3C 无最大值 也无最小值D 不能确定最大 最小值 解析 选B x N 且函数在 0 上单调递增 故函数在x 1时有最小值3 无最大值 3 函数f x 2 bx在 2 2 上的最大值与最小值的差为4 则b的值是 A 1B 1C 1或 1D 0 解析 选C 由题意知b 0 当b 0时 f x max 2 2b f x min 2 2b 2 2b 2 2b 2 2b 2 2b 4b 4b 4 b 1 当b 0时 f x max 2 2b f x min 2 2b 2 2b 2 2b 4b 4b 4 b 1 由以上可知b 1或 1 4 函数y x2 1 x 1 2 的最大值为 最小值为 解析 y x2 1在 1 0 上单调递增 在 0 2 上单调递减 又f 1 0 f 0 1 f 2 3 故函数的最大值为1 最小值为 3 答案 1 3 5 函数f x 在 3 5 上的最大值为则a 解析 由题意知 a 0时 f x 在 3 5 上的函数值为正 a 0时 f x 0无最值 所以a 0 f x 在 3 5 上为单调递增函数 f 5 a 2 答案 2 6 已知函数f x x 2 其中x 1 1 试判断它的单调性 2 试求它的最小值 解析 1 函数f x x 2 设