2018 年 大梦杯 福建省初中数学竞赛试题 考试时间2018年 3 月 18 日 9 00 11 00 满分 150 分 一 选择题 共5 小题 每小题 7 分 共 35 分 每道小题均给出了代号为A B C D 的四个选项 其中有且只有一个选项是正确的 请将正确选项的代号填入题后的括号里 不填 多填或错填都得0 分 1 若关于 x的方程 4x 2 4mx 3m 1 0 有两个相等的实数根 则m3 4m2 4m 2 的值 为 A 3 B 2 C 1 D 1 2 如图 ABCD DEFG 都是正方形 边长分别为m n mn 坐标原点O为AD的 中点 A D E在y轴上 若二次函数y ax 2 的图像过 C F两点 则 n m A 3 1 B 2 1 C 2 3 1 D 2 2 1 3 如图 G为 ABC 的重心 点D在CB延长线上 且 1 BDBC 过D G的直线交 2 AC 于点E 则 AE AC A A 2 5 B 3 5 C 3 7 D 4 7 G E D B C 4 如图 H O分别为 ABC 的垂心 外心 BAC45 若 ABC 外接圆的半径为 2 则AH A A 2 3 B 2 2 C 4 D 3 1 O H 1 B C 5 满足方程 x2 4xy 19y2 151的整数对 x y 有 A 0 对B 2 对C 4 对D 6 对 二 填空题 共5 小题 每小题 7 分 共 35 分 6 已知 a b c为正整数 且 abc 若 b c a c a b 是三个连续正整数的平 方 则 a 2 b 2 c 2 的最小值为 7 如图 ABCD为矩形 E为对角线 AC 的中点 A B在 x轴上 若函数 y 4 x0 x 的图像过D E两点 则矩形 ABCD 的面积为 8 如图 ABC是边长为 8 的正三角形 D为AB边上一点 O 为 ACD的内切圆 1 O 为 CDB的边DB上的旁切圆 若 O O 的半径都是 r 则 r 2 1 2 C O 1 B A D O 2 9 若实数 x满足x2x3x2018 则4x 其中x表示不超 过 x的最大整数 2 2 10 网络爬虫是一种互联网网页抓取工具 其算法与数学的一个重要分支图论有着密切 的联系 图论可以追溯到大数学家欧拉提出的 哥尼斯堡七桥问题 图论中讨论的图是由一 些节点和连接这些节点的线组成的 请你回答下列问题 把一个矩形区域划分成n个凸多边形区域 这些凸多边形区域除公共边外 没有公共部 分 已知构成这n个凸多边形的顶点中 恰有6 个顶点在矩形内 12 个顶点在矩形的边界上 含矩形的顶点 同时 任何三个顶点不共线 除矩形边界上的顶点共线外 若围成这n个 凸多边形的线段中 恰有18 条线段在矩形区域内 则这n个凸多边形中四边形个数的最大值 为 三 解答题 共4 题 每小题 20 分 共 80 分 11 已 知 二 次 函 数 y 2x 2 4bx c 的 图 像 交 x 轴 于A x 0 1 B x 0 两 点 且 2 xx26 2 1 若函数 y2x 2 4bx c在 b 1xb 3 上的最小值为 6 求b c的值 xx5 1 2 3 3 12 如图 在圆内接四边形 ABCD 中 ABAD M是 BC 边的中点 点N在对角线BD 上 且满足BANCAM 求证 MN AC A D N C M B 4 4 13 已知关于 x 的方程 x 2 kx k 9999 0 的两根都是素数 求k的值 14 一个由 36 个单位小方格组成的66 的方格表中的 n个小方格被染成了红色 使得任 意两个红色小方格的中心之间的距离大于2 求 n的最大值 5 5