专题四三角函数与解三角形 第十一讲三角函数的综合应用 答案部分 1 D 解析 1 1 1 1 1 2 f x 1 cos x sin xsin xcos xsin x 2 2 2 2 2 2 4 当 时 2 sin 1 1 f xxf x 无零点 x 2 时 1 2 2 2 2 4 2 2 3 时 2 sin 3 x 2 时 0f x 有 排除 A B 当f xx 16 2 16 4 零点 排除C 故选 D 2 B 解析 1 2sin 2 6sin 2 sin 3 2 11 f xxxx 因为sin x 1 1 所 2 2 以当sin x 1 时 f x 取得最大值为 f x 5 故选 B max 3 C 解析 由图象知 y 因为 min 2 yk 所以3 k2 解得 k5 min 3 所以这段时间水深的最大值是yk 故选 C max 3 3 5 8 4 D 解析 对于A 当x 或 4 5 4 时 sin 2x均为 1 而sin x与x 2 x此时均有两个 值 故A B 错误 对于C 当x 1或x 1时 x 2 1 2 而 x 1 由两个值 故 C 错误 选 D 5 B 解析 由于f 0 2 f 15 f 2 2 f 故排除选项C D 当 4 2 4 点P在BC上时 f x BP APtan x4 tan2 x 0 x 不难发现f x 4 的图象是非线性 排除A 6 C 解析 由题意知 f x cos x sin x 当x 0 时 f x sin xcos x 2 1 时 cos sin 1 sin 2 sin 2x 当x f xxxx 故选 C 2 2 2 7 3 3 2 解析 单位圆内接正六边形是由6 个边长为1 的正三角形组成 所以 1 1 3 3 S61 1 sin 60 o 6 2 2 8 4 2 5 解析 设向量a b的夹角为 由余弦定理有 rr a b1 2 2 1 2cos5 4 cos 2 2 rr a b 2 2 1 2 2 1 2 cos 5 4 cos 则 a ba b5 4 cos5 4 cos 令y5 4 cos x5 4 cos x 则 y2 10 2 25 16 cos 2 16 20 rrrrrrrr 据此可得 a ba b20 2 5 a ba b16 4 max min 即a ba b的最小值是4 最大值是2 5 9 2 1 解析 2cos 2 x sin 2x 1 cos 2x sin 2x2 sin 2x 1 所以 A2 b 1 4 1 10 解析 a b sin 2cos2 2 sincoscos2 0 2 2 1 tan 2 11 解析 1 连结PO并延长交MN于H 则PH MN 所以OH 10 P D C M E K O H AB G N 过O作OE BC于E 则OE MN 所以COE 故OE40 cos EC 40 sin 则矩形ABCD的面积为2 40 cos 40sin10 800 4sincoscos 的面积为1 2 40 cos 40 40sin 1600 cos sin cos CDP 2 过N作GN MN 分别交圆弧和OE的延长线于G和K 则GKKN 10 1 令 GOK 则 0 0 sin 0 0 4 6 2 当 时 才能作出满足条件的矩形ABCD 0 2 所以sin的取值范围是 1 1 4 答 矩形ABCD的面积为800 4sincoscos 平方米 CDP的面积为 1600 cossincos sin的取值范围是 1 1 4 2 因为甲 乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4 3 设甲的单位面积的年产值为4k 乙的单位面积的年产值为3k k0 则年总产值为4k800 4sincoscos 3k 1600 cossin cos 8000k sincoscos 0 2 设f sincoscos 0 2 则f cos2 sin2 sin 2sin 2 sin1 2sin1 sin1 令f 0 得 6 当 时 f 0 所以f 为增函数 0 6 当 时 f 0 所以f 为减函数 6 2 因此 当 时 f 取到最大值 6 答 当 时 能使甲 乙两种蔬菜的年总产值最大 6 12 解析 1 由正棱柱的定义 CC平面ABCD 1 所以平面 A ACC平面ABCD CCAC 1 1 1 记玻璃棒的另一端落在 CC上点M处 1 因为AC 10 7 AM40 所以MN402 10 7 2 30 从而sin 3 MAC 4 记AM与水平的交点为 P 过 1 P作 1 PQAC Q为垂足 1 1 1 则 PQ平面ABCD 故 1 1 PQ 1 1 12 3 PQ 从而AP1 1 1 16 sin MAC 答 玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm 如果将 没入水中部分 理解为 水面以上部分 则结果为24cm 2 如图 O O1 是正棱台的两底面中心 由正棱台的定义 OO1 平面EFGH 所以平面E1EGG 1 平面 EFGH OO1 EG 同理 平面E1EGG 1 平面 E1F1G1H1 OO1 E1G1 记玻璃棒的另一端落在GG1 上点N处 过G作GK E 1G1 K为垂足 则GK OO1 32 因为EG 14 E1G1 62 62 14 所以KG1 1 1 24 32 40 24 从而2 2 2 2 GGKGGK 2 4 设 EGG1 ENG 则 sin sin KGG cos KGG 1 1 2 5 3 cos 因为 所以 2 5 在 ENG中 由正弦定理可得 40 14 解得sin 7 sinsin 25 4 因为0 所以cos 24 2 25 于是sin NEG sin sin sincos cos sin 4 24 3 7 3 5 25 5 25 5 记EN与水面的交点为P2 过P2 作P 2Q2 EG Q为垂足 则 2 PQ 平面EFGH 2 2 PQ故 P2Q2 12 从而EP2 2 2 20 sin NEG 答 玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm 如果将 没入水中部分 理解为 水面以上部分 则结果为20cm 13 解析 由题意 1 cos 2x 1 2 1 1 1 f x sin 2xxsin 2x sin 2 2 2 2 2 2 1 sin 2x 2 由kx2k kZ 可得kxk 2 2 kZ 2 2 4 4 3 3 由kx2k kZ 得kxk 2 2 kZ 2 2 4 4 所以f x 的单调递增区间是 kk kZ 4 4 3 单调递减区间是 kk kZ 4 4 A1 1 Q f sin A0 sin A 2 2 2 由题意A是锐角 所以cos 3 A 2 由余弦定理 a 2 b 2 c 2 2bccos A 可得 13bc b2 c2 2bc 1 bc 且当b c时成立 2 3 2 3 2 3 ABC面积最大值为 bcsin A 4 2 4 3 14 解析 因为 3 1 f t 10 2 cos tsin t 10 2sin t 2 12 2 12 12 3 5 t t 7 又0 t24 所以1 sin 1 3 12 3 3 12 3 当t2时 1 当t 14时 1 sin tsin t 12 3 12 3 于是f t 在 0 24 上取得最大值12 取得最小值8 故实验室这一天最高温度为12 C 最低温度为8 C 最大温差为4 C 依题意 当f t 11时实验室需要降温 由 1 得f t 10 2 sin t 12 3 10t 即 1 所以2 sin 11 sin t 12 3 12 3 2 7t1 1 又0 t24 因此 即10 t18 6 12 3 6 故在 10 时至 18 时实验室需要降温 15 解析 1 Q a b c成等差数列 a c 2b 由正弦定理得sin A sinC2 sin B Q sin B sin A C sin A C sin A sinC2sin A C 2 Q a b c成等比数列 b 2 2ac 由余弦定理得 cos B a 2 c 2 b 2 a 2 c 2 ac2ac ac1 2ac2ac2ac2 Q a2 c2 2ac 当且仅当ac时等号成立 ac 2 2 当且仅当a c时等号成立 1 2ac a2 c2 1 1 1 当且仅当a c时等号成立 1 2ac2 2 2 即 cos 1 B 所以cosB的最小值为 2 1 2 16 解析 由函数f x sin x 的周期为 0 得2 又曲线yf x 的一个对称中心为 0 0 4 6 故f sin 2 0 4 4 所以f x cos 2 x 得 2 将函数f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 纵坐标不变 后可得y cos x 的图象 再将y cos x的图象向右平移 2 个单位长度后得到函数g x sin x 时 1 sin 2 0 cos 2 1 当x xx 6 4 2 2 2 所以sin xcos 2 xsin xcos 2 x 问题转化为方程 2cos 2x sin x sin xcos 2 x在 6 4 设G x sin x sin xcos 2 x 2cos 2 x x 6 4 内是否有解 则G x cos x cos xcos 2 x 2 sin 2x 2 sin x 所以G x 0 G x 在 因为x 6 4 6 4 内单调递增 1 2 又G 0 G 0 6 4 4 2 且函数G x 的图象连续不断 故可知函数G x 在 6 4 即存在唯一的 x0 满足题意 6 4 内存在唯一零点x 0 依题意 F x asin x cos 2 x 令F x asin x cos 2 x 0 当sin x 0 即x k kZ 时 cos 2x 1 从而xk kZ 不是方程F x 0 的解 所以方程F x 0 等价于关于x的方程cos 2 a xk kZ sin x x 现研究x 0 U 2 时方程解的情况 令 h x cos 2 x x 0 U 2 sin x 则问题转化为研究直线ya与曲线yh x 在x 0 U 2 的交点情况 cos 2sin 2 1 xx 令h x 0 得 h x sin x 2 x 或3 x 2 2 当x变化时 h x 和h x 变化情况如下表 7 x 0 2 2 3 33 2 2 2 2 2 h x0 0 h xZ1 1 Z 当x0 且x趋近于0 时 h x 趋向于 当x且x趋近于时 h x 趋向于 当x 且x趋近于时 h x 趋向于 当x2且x趋近于2时 h x 趋向于 故当a1时 直线y a与曲线yh x 在 0 内有无交点 在 2 内有2 个交 点 当a1时 直线y a与曲线yh x 在 0 内有2 个交点 在 2 内无 交点 当1a1时 直线ya与曲线 yh x 在 0 内有2 个交点 在 2 内有2 个交点由函数h x 的周期性 可知当a1时 直线y a与曲线yh x 在 0 n 内总有偶数个交点 从而不存在正整数 n 使得直线ya与曲线 yh x 在 0 n 内 恰 有2013 个 交 点 当a1 时 直 线y a与 曲 线yh x 在 0 U 2 内有3个交点 由周期性 2013 3 671 所以n 671 2 1342 综上 当a1 n 1342 时 函数F x f x ag x 在 0 n 内恰有2013个 零点 8