名师整理 助你成功 高三数学第一轮复习讲义 74 2005 1 10 导数的概念及运算 一 复习目标 理解导数的概念和导数的几何意义 会求简单的函数的导数和曲线在一点处的切线方程 二 知识要点 1 导数的概念 0 fx fx 2 求导数的步骤是 3 导数的几何意义是 三 课前预习 1 函数 22 21 yx的导数是 C A 32 164xx B 3 48xx C 3 168xx D 3 164xx 2 已 知 函 数 31 xfxxf则处的导数为在的 解 析 式 可 A A 1 3 1 2 xxxf B 1 2 xxf C 2 1 2 xxf D1 xxf 3 曲线 2 4yxx上两点 4 0 2 4 AB 若曲线上一点P处的切线恰好平行于弦AB 则点P的坐标为 B A 1 3 B 3 3 C 6 12 D 2 4 4 若函数 2 f xxbxc的图象的顶点在第四象限 则函数 fx的图象是 A 5 已知曲线 yf x在2x处的切线的倾斜角为 3 4 则 2 f1 2 f0 6 曲线 21 2 2 yx与 31 2 4 yx在交点处的切线的夹角是 4 四 例题分析 例 1 1 设函数 2 31 23 f xxxx 求 1 fxf 2 设函数 32 25fxxxx 若 0fxo 求xo的值 3 设函数 2 n fxxa 求 fx 解 1 32 61153f xxxx 2 18225fxxx 2 32 25f xxxx 2 341fxxx x y O A x y O B x y O C x y O D 名师整理 助你成功 由 0fxo得 2 0 3410 xx 解得 0 1x或 0 1 3 x 3 0 22 2 lim nn x xaxxa fx x 11221 0 lim 2 24 2 2 nnnnn nnn x CxaCxxaCxL 1 2 2 n nxa 例2 物体在地球上作自由落体运动时 下落距离 21 2 Sgt其中t为经历的时间 2 9 8 gm s 若 0 1 1 lim t StS V t 9 8 m s 则下列说法正确的是 C A 0 1s 时间段内的速率为9 8 m s B 在 1 1 ts 时间段内的速率为9 8 m s C 在 1s末的速率为9 8 m s D 若 t 0 则9 8 m s是 1 1 ts 时段的速率 若 t 0 则9 8 m s是 1 ts 1 时段的速率 小结 本例旨在强化对导数意义的理解 0 lim t t StS 1 1 中的 t 可正可负 例 3 1 曲线C 32 yaxbxcxd在 0 1 点处的切线为 1 1lyx在 3 4 点 处的切线为 2 210lyx 求曲线C的方程 2 求曲线 3 2S yxx的过点 1 1 A的切线方程 解 1 已知两点均在曲线C 上 43927 1 dcba d 2 32yaxbxc 0 fc 3 276fabc 1 2762 c abc 可求出 1 1 1 1 3 dcab 曲线C 321 1 3 yxxx 2 设切点为 3 000 2 P xxx 则斜率 2 00 23kfxx 过切点的切线方程为 32 0000 2 23 yxxxxx 过点 1 1 A 32 0000 12 23 1 xxxx 解得 0 1x或 0 1 2 x 当 0 1x时 切点为 1 1 切线方程为 20 xy 当 0 1 2 x时 切点为 17 28 切线方程为 5410 xy 例 4 设函数 1 1 0f xx x 1 证明 当0ab且 f af b时 1ab 2 点 00 P xy 0 x0 1 在曲线 yf x上 求曲线上在点P处的切线与x轴 y轴正 向所围成的三角形面积的表达式 用 0 x表示 名师整理 助你成功 解 1 f af b 11 1 1 ab 两边平方得 22 1212 11 aabb 即 111111 2 ababab 0ab 11 0 ab 11 2 2abab ab 22 ababab 1ab 2 当0 1x 时 11 11f x xx 002 0 1 01 fxx x 曲线 yf x在点P处的切线方程为 00 2 0 1 yyxx x 即 0 2 00 2xx y xx 切线与与x轴 y轴正向的交点为 20 00 0 2 2 0 0 x xx x 所求三角形的面积为 220 0000 0 211 2 2 22 x A xxxx x 例 5 求函数 4 2yxx图象上的点到直线4yx的距离的最小值及相应点的坐标 解 首先由 4 2 4 xy xxy 得 4 20 x知 两曲线无交点 3 41yx 要与已知直线平行 须 3 411x 0 x 故切点 0 2 24 2 d2 名师整理 助你成功 五 课后作业 班级学号姓名 1 曲线 32 31yxx在点 1 1 处的切线方程为 A34yx B32yx C43yx D45yx 2 已知质点运动的方程为 2 4105stt 则该质点在4t时的瞬时速度为 A60 B120 C80 D50 3 设点P是曲线 3 3 3 5 yxx上的任意一点 点P处切线的倾斜角为 则角的 取值范围是 A 2 0 3 B 2 0 23 U C 2 23 D 2 33 4 若 0 2fx 则 00 lim 2 k f xkf x k 5 设函数 f x的导数为 fx 且 2 2 1 f xxxf 则 2 f 6 已知曲线 3 2S yxx 1 求曲线 S在点 1 1 A 处的切线方程 2 求过点 2 0 B并与曲线 S相切的直线方程 7 设曲线S 32 66yxxx S在哪一点处的切线斜率最小 设此点为 00 P xy 求证 曲线S关于P点中心对称 8 已 知 函 数 22 fxxaxb g xxcxd 若 21 4 fxg x 且 fxgx 5 30f 求 4 g 9 曲线 1 2 yx xx上有一点P 它的坐标均为整数 且过P点的切线斜率为正数 求此点坐标及相应的切线方程 名师整理 助你成功 10 已知函数 32 yxaxbxc的图像过点 1 2 P 过P点的切线与图象仅P点一个公 共点 又知切线斜率的最小值为2 求 fx的解析式