函数新情境问题专练 一 选择题 1 若一系列函数的解析式相同 值域相同 但定义域不同 则称这些函数为 同族函 数 则函数解析式为y x2 值域为 1 9 的 同族函数 共有 A 9个B 8 个 C 5个D 4 个 解析 选 A函数 y x2 值域为 1 9 可知自变量x 从 1 1 1 中任取一 个 和从3 3 3 中任取一个构成函数 故满足条件的 同族函数 有 3 3 9个 2 2017 山东高考 若函数 e xf x e 2 718 28 是自然对数的底数 在 f x 的定义域上单 调递增 则称函数f x 具有 M 性质 下列函数中具有M 性质的是 A f x 2 x B f x x 2 C f x 3 x D f x cos x 解析 选 A对于选项 A f x 2 x 1 2 x 则 exf x e x 1 2 x e 2 x e 2 1 e xf x 在 R 上单调递增 f x 2 x 具有 M 性质 对于选项B f x x2 e xf x exx2 e xf x ex x2 2x 令 ex x2 2x 0 得 x 0 或 x 2 令 ex x2 2x 0 得 2 x 0 函数e xf x 在 2 和 0 上单调递增 在 2 0 上单调递减 f x x 2 不具有 M 性质 对于选项C f x 3 x 1 3 x 则 exf x e x 1 3 x e 3 x e 3 1 y e 3 x 在 R 上单调递减 f x 3 x 不具有 M 性质 对于选项D f x cos x e xf x excos x 则 exf x ex cos x sin x 0 在 R 上不恒成立 故 e xf x excos x在 R 上不是单调 递增的 f x cos x 不具有 M 性质 故选A 3 数学上称函数y kx b k b R k 0 为线性函数 对于非线性可导函数f x 在 点 x0附近一点x 的函数值f x 可以用如下方法求其近似代替值 f x f x0 f x0 x x0 利用这一方法 m 4 001的近似代替值 A 大于 m B 小于 m C 等于 m D 与 m 的大小关系无法确定 解析 选 A依题意 取f x x 则f x 1 2 x 所以x x0 1 2x0 x x0 令 x 4 001 x0 4 所以4 001 2 1 4 0 001 因为 2 1 4 0 001 2 4 0 001 1 4 0 001 2 4 001 所以 m 4 001的近似代替值大于m 4 某地一天内的气温Q t 单位 与时刻 t 单位 时 之间的关系如图所示 令C t 表 示时间段 0 t 内的温差 即时间段 0 t 内最高温度与最低温度的差 C t 与 t 之间的函数 关系用下列图象表示 则下列正确的图象是 解析 选 D当 0 t 4 时 最高温度不变 最低温度减小 所以温差变大 排除C 当 4 t 8 时 前面一段温差不变 后面一段最高温度增大 所以温差变大 排除A B 故选 D 5 如图 已知l1 l2 圆心在 l1上 半径为1 m 的圆 O 沿 l1以 1 m s 的速度匀速竖直向 上移动 且在t 0 时 圆 O 与 l2相切于点A 圆 O 被直线 l2所截得到的两段圆弧中 位于 l2上方的圆弧的长记为 x 令 y cos x 则 y 与时间 t 0 t 1 单位 s 的函数 y f t 的图 象大致为 解析 选 B法一 如图 设 MON 由弧长公式知x 在 Rt AOM 中 AO 1 t cos x 2 OA OM 1 t y cos x 2cos 2x 2 1 2 t 1 2 1 0 t 1 故其对应的大致图象应为 B 法二 由题意可知 当 t 1 时 圆 O 在直线 l2上方的部分为半圆 所对应的弧长为 1 所以 cos 1 排除 A D 当 t 1 2时 如图所示 易知 BOC 2 3 所以 cos 2 3 1 2 0 排除 C 故选 B 6 若函数y f x 的图象上存在不同的两点M N 关于原点对称 则称点对 M N 是 函数 y f x 的一对 和谐点对 已知函数f x e x x0 则此函数的 和谐点对 有 A 1对B 2 对 C 3对D 4 对 解析 选 B作出函数f x e x x0 的图象如图所示 f x 的 和谐点对 数可转化为y ex x 0 和 y x2 4x x1 函数 f x x 2 2 x 1 x R 若方程 f x a 0 只有两个不同的实数根 则实数a 的取值范围是 A 2 1 1 2 B 2 1 1 2 C 2 1 1 2 D 2 1 1 2 解析 选 B由 f x x2 2 x 1 得 当 x2 2 x 1 1 即 1 x 2 时 f x x 2 2 当 x 2 或 x2或x 1 的 图象 如图所示 从图中可以看出 当 2 a 1 或 1 a 2 时 直线 y a 与函数 y f x 的图象只有2 个交点 故实数 a 的取值范围为 2 1 1 2 8 将边长为2 的等边 PAB 沿 x 轴正方向滚动 某时刻 P 与坐标原点重合 如图 设顶 点 P x y 的轨迹方程是y f x 关于函数y f x 有下列说法 f x 的值域为 0 2 f x 是周期函数 f 1 9 f f 2 019 其中正确的说法个数为 A 0 B 1 C 2 D 3 解析 选 C根据题意画出顶点P x y 的轨迹 如图所示 轨迹是一段一段的圆弧组成的图形 从图形中可以看出 f x 的值域为 0 2 正确 f x 是周期函数 周期为6 正确 由于 f 1 9 f 4 1 f 2 019 f 3 而 f 3 f f f 2 019 不正确 故选C 9 2018 武汉调研 定义函数y f x x I 若存在常数M 对于任意x1 I 存在唯 一的 x2 I 使得 f x1 f x2 2 M 则称函数f x 在 I 上的 均值 为M 已知 f x log2x x 1 2 2 018 则函数 f x log2x 在 1 2 2 018 上的 均值 为 A 1 008 B 2 016 C 1 009 D 2 018 解析 选 C令 x1x2 22 018 当 x1 1 2 2 018 时 x 2 2 2 018 x1 1 2 2 018 所以 M 1 2log2 x1x2 1 009 10 对于函数f x 和 g x 设 x f x 0 x g x 0 若存在 使得 1 则称 f x 与 g x 互为 零点相邻函数 若函数f x e x 1 x 2 与 g x x2 ax a 3 互 为 零点相邻函数 则实数a 的取值范围为 A 2 4 B 2 7 3 C 7 3 3 D 2 3 解析 选 D f x e x 1 1 0 f x e x 1 x 2 是 R 上的单调递增函数 又 f 1 0 函数f x 的零点为x 1 1 1 1 0 2 函数 g x x2 ax a 3 在区间 0 2 上有零点 由 g x 0 得 a x 2 3 x 1 0 x 2 即 a x 1 2 2 x 1 4 x 1 x 1 4 x 1 2 0 x 2 设 x 1 t 1 t 3 则 a t 4 t 2 1 t 3 令 h t t 4 t 2 1 t 3 易知 h t 在区间 1 2 上是减函数 在区间 2 3 上是增函数 2 h t 3 即 2 a 3 11 已知点 A 1 0 若点 B 是曲线 y f x 上的点 且线段 AB 的中点在曲线y g x 上 则称点B 是函数y f x 关于函数g x 的一个 关联点 已知f x log2x g x 1 2 x 则函数 f x 关于函数g x 的 关联点 的个数是 A 1 B 2 C 3 D 4 解析 选 B设 AB 的中点 Q x y 则由 A 1 0 得 B 2x 1 2y 则 2y log2 2x 1 即 y 1 2 log2 2x 1 在同一平面直角坐标系中作出函数 g x 1 2 x与 y 1 2 log2 2x 1 的图象 如图所示 观察可知它们有2 个交点 则对应的 关联点 也有 2 个 12 对于函数f x 若 f x0 x0 则称 x0为函数 f x 的 不动点 若 f f x0 x0 则 称 x0为函数 f x 的 稳定点 若函数 f x x2 a a R 的 稳定点 恰是它的 不动点 则实数 a 的取值范围是 A 1 4 B 3 4 C 3 4 1 4 D 3 4 1 4 解析 选 D由 f f x x 得 x 2 a 2 a x 即 x2 x a x 2 a x 故 x2 x a 2 2x x2 x a x2 x a 0 即 x2 x a x2 x a 1 0 由已知方程x2 x a 0 有解 故a 1 4 现考察方程x2 x a 1 0 1 1 4 a 1 4a 3 3 4时 方程 x2 x a 1 0 无解 故稳定点即 为不动点 2 0 即 a 3 4时 方程 x 2 x a 1 0 的解为 x 1 2也是方程 x 2 x a 0 的 解 故稳定点即为不动点 3 0 即 a 3 4时 由根与系数的关系可得 方程 x2 x a 1 0 的解与方程x2 x a 0 的解不全相同 故稳定点不全为不动点 综上可得 实数a 的取值范围是 3 4 1 4 二 填空题 13 设 m Z 对于给定的实数x 若 x m 1 2 m 1 2 则我们就把整数m 叫做距实 数 x 最近的整数 并把它记为 x 现有关于函数f x x x 的四个命题 f 1 2 1 2 函数 f x 的值域是 1 2 1 2 函数 f x 是奇函数 函数 f x 是周期函数 其最小正周期为1 其中 真命题的序号为 解析 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 f 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 所以 是假命题 令 x m a m Z a 1 2 1 2 则 f x x x a f x 1 2 1 2 所以 是真命题 f 1 2 1 2 0 1 2 f 1 2 1 2 f 1 2 函数 f x 不是奇函数 故 是假命题 f x 1 x 1 x 1 x x f x 函数 f x 的最小正周期为1 故 是真命题 答案 14 如图展示了一个由区间 0 1 到实数集R 的映射过程 区间 0 1 中的实数m 对应数 轴上的点M 如图 1 将线段AB 围成一个圆 使两端点A B 恰好重合 如图2 再将这 个圆放在平面直角坐标系中 使其圆心在y 轴上 设 A 的坐标为 0 1 图 3 中直线 AM 与 x 轴交于点N n 0 则 m 的象就是n 记作 f m n 1 方程 f x 0 的解是 x 2 下列说法中正确命题的序号是 f 1 4 1 f x 是奇函数 f x 在定义域上单调递增 f x 的图象关于点 1 2 0 对称 解析 1 显然当点M 为 AB 的中点时 f x 0 此时 x 1 2 2 当 m 1 4时 对应的圆上的点 M 位于四分之一圆周上 此时点N 在 x 轴的负半轴 即得 f 1 4 1 即 不正确 显然该函数的定义域不关于原点对称 即该函数既不是奇函 数也不是偶函数 即 也不正确 由图象作图即可知 该函数在定义域上单调递增 即 正确 由图象作图即可知函数f x 的图象关于点 1 2 0 对称 综上可得正确的命题的序号是 答案 1 1 2 2 15 2018 湖南五市十校联考 有一支队伍长L 米 以一定的速度匀速前进 排尾的传 令兵因传达命令赶赴排头 到达排头后立即返回 且往返速度不变 如果传令兵回到排尾 后 整个队伍正好前进了L 米 则传令兵所走的路程为 米 解析 法一 设传令兵的速度为v 队伍行进速度为v 则传令兵从排尾到排头的时 间为 L v v 从排头到排尾的时间为 L v v 往返共用时间为t L v v L v v 则传 令兵往返路程S v t 由于传令兵回到排尾后 整个队伍正好前进了L 米 则 L vt 故 t v 2 v 2 2v L 可得 t 2 v 2 v2 2