压轴解答题直面高考备战2020中考数学之解密压轴解答题命题规律专题07 二次函数与平行四边形存在型问题【典例分析】【例1】（2019内蒙古中考真题）已知,如图,抛物线的顶点为,经过抛物线上的两点和的直线交抛物线的对称轴于点（1）求抛物线的解析式和直线的解析式（2）在抛物线上两点之间的部分（不包含两点）,是否存在点,使得？若存在,求出点的坐标；若不存在,请说明理由（3）若点在抛物线上,点在轴上,当以点为顶点的四边形是平行四边形时,直接写出满足条件的点的坐标思路点拨（1）二次函数表达式为：y=a（x-1）2+9,即可求解；（2）SDAC=2SDCM,则,即可求解；（3）分AM是平行四边形的一条边、AM是平行四边形的对角线两种情况,分别求解即可满分解答（1）二次函数表达式为：,将点的坐标代入上式并解得：,故抛物线的表达式为：,则点,将点的坐标代入一次函数表达式并解得：直线的表达式为：；（2）存在,理由：二次函数对称轴为：,则点,过点作轴的平行线交于点,设点,点,则,解得：或5（舍去5）,故点；（3）设点、点,当是平行四边形的一条边时,点向左平移4个单位向下平移16个单位得到,同理,点向左平移4个单位向下平移16个单位为,即为点,即：,而,解得：或4,故点或；当是平行四边形的对角线时,由中点公式得：,而,解得：,故点或；综上,点或或或【名师点睛】本题考查的是二次函数综合运用,涉及到一次函数、平行四边形性质、图形的面积计算等,其中（3）,要注意分类求解,避免遗漏【例2】（2019青海中考真题）如图1（注：与图2完全相同）,在直角坐标系中,抛物线经过点三点,（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）是抛物线对称轴上的一点,求满足的值为最小的点坐标（请在图1中探索）；（3）在第四象限的抛物线上是否存在点,使四边形是以为对角线且面积为的平行四边形？若存在,请求出点坐标,若不存在请说明理由.（请在图2中探索）思路点拨根据点的坐标可设二次函数表达式为：,由C点坐标即可求解；连接交对称轴于点,此时的值为最小,即可求解；,则,将该坐标代入二次函数表达式即可求解满分解答根据点,的坐标设二次函数表达式为：,抛物线经过点,则,解得：,抛物线的表达式为： ,函数的对称轴为：；连接交对称轴于点,此时的值为最小,设BC的解析式为：,将点的坐标代入一次函数表达式：得：解得：直线的表达式为：,当时,故点； 存在,理由：四边形是以为对角线且面积为的平行四边形,则 ,点在第四象限,故：则,将该坐标代入二次函数表达式得：,解得：或,故点的坐标为或【名师点睛】本题考查二次函数综合运用,涉及到一次函数、平行四边形性质、图形的面积计算等,其中,求线段和的最小值,采取用的是点的对称性求解,这也是此类题目的一般解法【例3】（2019辽宁中考真题）如图1,在平面直角坐标系中,一次函数yx+3的图象与x轴交于点A,与y轴交于B点,抛物线yx2+bx+c经过A,B两点,在第一象限的抛物线上取一点D,过点D作DCx轴于点C,交直线AB于点E（1）求抛物线的函数表达式（2）是否存在点D,使得BDE和ACE相似？若存在,请求出点D的坐标,若不存在,请说明理由；（3）如图2,F是第一象限内抛物线上的动点（不与点D重合）,点G是线段AB上的动点连接DF,FG,当四边形DEGF是平行四边形且周长最大时,请直接写出点G的坐标思路点拨（1）根据,求出A,B的坐标,再代入抛物线解析式中即可求得抛物线解析式；（2）BDE和ACE相似,要分两种情况进行讨论：BDEACE,求得,；DBEACE,求得,；（3）由DEGF是平行四边形,可得DEFG,DE=FG,设,根据平行四边形周长公式可得：DEGF周长=,由此可求得点G的坐标满分解答（1）在中,令,得,令,得,将,分别代入抛物线中,得：,解得：,抛物线的函数表达式为：（2）存在如图1,过点作于,设,则,；,和相似,或当时,即：,解得：（舍去）,（舍去）,当时,即：,解得：（舍,（舍,；综上所述,点的坐标为,或,；（3）如图3,四边形是平行四边形,设,则：,即：,即：过点作于,则,即：,即：周长,当时,周长最大值,【名师点睛】此题考查二次函数综合题,综合难度较大,解答关键在于结合函数图形进行计算,再利用待定系数法求解析式,配合辅助线利用相似三角形的性质进行解答.【例4】（2019广西中考真题）如图,已知抛物线的顶点为,与轴相交于点,对称轴为直线,点是线段的中点.（1）求抛物线的表达式；（2）写出点的坐标并求直线的表达式；（3）设动点,分别在抛物线和对称轴l上,当以,为顶点的四边形是平行四边形时,求,两点的坐标.思路点拨（1）函数表达式为：,将点坐标代入上式,即可求解； （2）、,则点,设直线的表达式为：,将点坐标代入上式,即可求解； （3）分当是平行四边形的一条边、是平行四边形的对角线两种情况,分别求解即可.满分解答（1）函数表达式为：,将点坐标代入上式并解得：,故抛物线的表达式为：；（2）、,则点,设直线的表达式为：,将点坐标代入上式得：,解得：,故直线的表达式为：；（3）设点、点,当是平行四边形的一条边时,点向左平移2个单位、向下平移4个单位得到,同样点向左平移2个单位、向下平移4个单位得到,即：,解得：,故点、的坐标分别为、；当是平行四边形的对角线时,由中点定理得：,解得：,故点、的坐标分别为、；故点、的坐标分别为,或、,或【名师点睛】本题考查的是二次函数综合运用,涉及到一次函数、平行四边形性质、图象的面积计算等,其中（3）,要主要分类求解,避免遗漏.【例5】（2019甘肃中考真题）如图,已知二次函数yx2+bx+c的图象与x轴交于点A（1,0）、B（3,0）,与y轴交于点C（1）求二次函数的解析式；（2）若点P为抛物线上的一点,点F为对称轴上的一点,且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形,求点P的坐标；（3）点E是二次函数第四象限图象上一点,过点E作x轴的垂线,交直线BC于点D,求四边形AEBD面积的最大值及此时点E的坐标思路点拨（1）用交点式函数表达式,即可求解；（2）分当AB为平行四边形一条边、对角线,两种情况,分别求解即可；（3）利用S四边形AEBDAB（yDyE）,即可求解满分解答（1）用交点式函数表达式得：y（x1）（x3）x24x+3；故二次函数表达式为：yx24x+3；（2）当AB为平行四边形一条边时,如图1,则ABPE2,则点P坐标为（4,3）,当点P在对称轴左侧时,即点C的位置,点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形,故：点P（4,3）或（0,3）；当AB是四边形的对角线时,如图2,AB中点坐标为（2,0）设点P的横坐标为m,点F的横坐标为2,其中点坐标为： ,即：2,解得：m2,故点P（2,1）；故：点P（4,3）或（0,3）或（2,1）；（3）直线BC的表达式为：yx+3,设点E坐标为（x,x24x+3）,则点D（x,x+3）,S四边形AEBDAB（yDyE）x+3x2+4x3x2+3x,10,故四边形AEBD面积有最大值,当x,其最大值为,此时点E（,）【名师点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来,利用点的坐标的意义表示线段的长度,从而求出线段之间的关系【例6】（2019四川中考真题）如图,抛物线经过x轴上的点A（1,0）和点B及y轴上的点C,经过B、C两点的直线为求抛物线的解析式点P从A出发,在线段AB上以每秒1个单位的速度向B运动,同时点E从B出发,在线段BC上以每秒2个单位的速度向C运动当其中一个点到达终点时,另一点也停止运动设运动时间为t秒,求t为何值时,PBE的面积最大并求出最大值过点A作于点M,过抛物线上一动点N（不与点B、C重合）作直线AM的平行线交直线BC于点Q若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形,求点N的横坐标思路点拨点B、C在直线为上,则B（n,0）、C（0,n）,点A（1,0）在抛物线上,所以,解得,因此抛物线解析式：；先求出点P到BC的高h为,于是,当时,PBE的面积最大,最大值为；由知,BC所在直线为：,所以点A到直线BC的距离,过点N作x轴的垂线交直线BC于点P,交x轴于点H设,则、,易证PQN为等腰直角三角形,即,所以解得（舍去）,解得,（舍去）,解得（舍去）,满分解答点B、C在直线为上,B（n,0）、C（0,n）,点A（1,0）在抛物线上,抛物线解析式：；由题意,得,由知,点P到BC的高h为,当时,PBE的面积最大,最大值为；由知,BC所在直线为：,点A到直线BC的距离,过点N作x轴的垂线交直线BC于点P,交x轴于点H设,则、,易证PQN为等腰直角三角形,即,解得,点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形,；,解得,点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形,解得,点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形,综上所述,若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形,点N的横坐标为：4或或【名师点睛】本题考查了二次函数,熟练掌握二次函数的性质、平行四边形的判定与性质是解题的关键【变式训练】1抛物线y=x2+6x9的顶点为A,与y轴的交点为B,如果在抛物线上取点C,在x轴上取点D,使得四边形ABCD为平行四边形,那么点D的坐标是（ ）A（6,0） B（6,0） C（9,0） D（9,0）【答案】D【解析】【分析】首先确定顶点坐标A和y轴的交点坐标,然后根据抛物线的对称性确定点C的坐标,进而确定D点坐标.【详解】解：令x=0得y=-9,即点B坐标（0,-9）y=x2+6x9=-(x-3)2,顶点坐标A（3,0）,对称轴为x=3,C在抛物线上, 四边形ABCD为平行四边形,C（6,-9）,CD=6,AB=6,D（9,0）,故选D.【点睛】本题考查了抛物线的图像性质,属于简单题,一般式化为顶点式,求出对称轴是解题关键.2如图,抛物线y=x2-2x-3与x轴交于点A、D,与y轴交于点C,四边形ABCD是平行四边形,则点B的坐标是（）A（-4,-3）B（-3,