书 山 有 路 1 2020 年高考模拟试题年高考模拟试题 理科理科数学数学 一 选择题一 选择题 本大题共本大题共 1212 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 6060 分分 在每小题给出的四个选项中 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的 1 若集合 A 1 1 B 0 2 则集合 z z x y x A y B 中的元素的个数 为 A 5 B 4 C 3 D 2 2 复数在复平面上对应的点位于 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 3 小波通过做游戏的方式来确定周末活动 他随机地往单位圆内投掷一点 若此点 到圆心的距离大于 则周末去看电影 若此点到圆心的距离小于 则去打篮球 否则 在家看书 则小波周末不在家看书的概率为 A B C D 4 函数的部分图象 如图示 则将的图象向右平移 个单位后 得到的 图象解析式为 A B C D 5 已知 则 A B C D 6 函数的最小正周期是 A B C D 2 7 函数 y 的图象大致是 A B C D 8 已知数列为等比数列 是是它的前 n 项和 若 且 与 2 的等差中 项为 则 A 35 B 33 C 31 D 29 9 某大学的 8 名同学准备拼车去旅游 其中大一 大二 大三 大四每个年级各两 名 分乘甲 乙两辆汽车 每车限坐 4 名同学 乘同一辆车的 4 名同学不考虑位置 其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车 则乘坐甲车的 4 名同学中恰有 2 名同学是来自同 一年级的乘坐方式共有 A 24 种 B 18 种 C 48 种 D 36 种 10 如图 在矩形 OABC 中 点 E F 分别在线段 AB BC 上 且满足 若 则 A B C D 11 如图 F1 F2分别是双曲线 C a b 0 的左右 焦点 B 是虚轴的端点 直线 F1B 与 C 的两条渐近线分别交 于 P Q 两点 线段 PQ 的垂直平分线与 x 轴交于点 M 若 MF2 F1F2 则 C 的离心率是 A B C D 12 函数 f x 2x log0 5x 1 的零点个数为 A 1 B 2 C 3 D 4 二 填空题二 填空题 本大题共本大题共 4 4 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 2020 分分 请把正确答案填在题中横线上请把正确答案填在题中横线上 13 设 为第二象限角 若 则 sin cos 14 a x 4的展开式中 x3的系数等于 8 则实数 a 书 山 有 路 2 15 已知曲线lnyxx 在点 1 1 处的切线与曲线 2 21yaxax 相切 则 a 16 若 42 x 则函数 3 tan2 tanyxx 的最大值为 三 解答题 共三 解答题 共 7070 分分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第第 17 2117 21 题为必题为必 考题 每个试题考生都必须作答考题 每个试题考生都必须作答 第第 2222 2323 题为选考题 考生依据要求作答题为选考题 考生依据要求作答 17 已知数列的前 项和为 且 对任意N 都有 1 求数列的通项公式 2 若数列满足 求数列的前项和 18 如图 四棱锥 P ABCD 中 PA 底面 ABCD BC CD 2 AC 4 ACB ACD F 为 PC 的中点 AF PB 1 求 PA 的长 2 求二面角 B AF D 的正弦值 19 销商经销某种农产品 在一个销售季度内 每售出 1 t 该产品获利润 500 元 未 售出的产品 每 1 t 亏损 300 元 根据历史资料 得到销售季度内市场需求量的频率 分布直方图 如图所示 经销商为下一个销售季度购进了 130 t 该农产品 以 X 单 位 t 100 X 150 表示下一个销售季度内的市场需求量 T 单位 元 表示下一 个销售季度内经销该农产品的利润 1 将 T 表示为 X 的函数 2 根据直方图估计利润 T 不少于 57 000 元的概率 3 在直方图的需求量分组中 以各组的区间中点值代表该组的各个值 并以需求 量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率 例如 若需求量 X 100 110 则取 X 105 且 X 105 的概率等于需求量落入 100 110 的频率 求 T 的数学期望 20 设点 O 为坐标原点 椭圆 E 22 22 1 xy ab a b 0 的右顶点为 A 上顶点为 B 过点 O 且斜率为 1 6 的直线与直线 AB 相交 M 且 1 3 MABM 1 求椭圆 E 的离心率 e 2 PQ 是圆 C x 2 2 y 1 2 5 的一条直径 若椭圆 E 经过 P Q 两点 求椭圆 E 的方程 21 设函数 2 lnf xxaxx a R 1 若1a 求函数 f x的单调区间 2 若函数 f x在区间 0 1 上是减函数 求实数a的取值范围 请考生在请考生在 2222 2323 两题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题记分两题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题记分 22 在直接坐标系中 直线 的方程为 曲线 的参数方程为 为参数 1 已知在极坐标 与直角坐标系取相同的长度单位 且以原点 为极点 以 轴 正半轴为极轴 中 点 的极坐标为 4 判断点 与直线 的位置关系 2 设点 是曲线 上的一个动点 求它到直线 的距离的最小值 23 已知关于 x 的不等式 其中 1 当 a 4 时 求不等式的解集 2 若不等式有解 求实数 a 的取值范围 书 山 有 路 3 2020 年高考模拟试题年高考模拟试题 理科理科数学数学参考答案参考答案 选择题 选择题 1 C 由已知 得 z z x y x A y B 1 1 3 所以集合 z z x y x A y B 中的元素的个数为 3 2 A 本题考查复数的运算及几何意义 所以点 位于第一象限 3 B 方法一方法一 不在家看书的概率 方法二方法二 不在家看书的概率 1 在家看书的概率 1 4 D 由图像知 A 1 由得 则图像向右平移个单位后得到的图像解析式为 故选 D 5 D 6 A 根据三角恒等变换化简可得 7 D 解 当 x 0 时 y xlnx y 1 lnx 即 0 x 时 函数 y 单调递减 当 x 函数 y 单调递增 因此 函数 y 为偶函数 8 C 设 的公比为 则由等比数列的性质知 即 由与 2的等差中项为 知 即 9 A 分类讨论 有 2 种情形 孪生姐妹乘坐甲车 则有孪生姐妹不乘坐甲车 则有所以共有 24 种 10 B 以为坐标原点 如图建立直角坐标系 设 则 即两式相加 得解得 11 B 如图 OB b O F1 c kPQ kMN 直线 PQ 为 y x c 两条渐近线为 y x 由 得 Q 由 得 P 直线 MN 为 y x 令 y 0 得 xM 又 MF2 F1F2 2c 3c xM 解之得 即 e 12 函数 f x 2x log0 5x 1 的零点也就是方程 2x log0 5x 1 0 的根 即 2x log0 5x 1 整理得 log0 5x 令 g x log0 5x h x 作 g x h x 的图象如 图所示 因为两个函数图象有两个交点 所以 f x 有两个零点 填空题填空题 13 由 得 tan 即 sin cos 书 山 有 路 4 将其代入 sin2 cos2 1 得 因为 为第二象限角 所以 cos sin sin cos 14 a x 4的展开式的通项公式为 Tr 1 a4 r xr 令 r 3 可得 a x 4的展开式中 x3的系数等于 a 8 解得 a 2 15 曲线lnyxx 在点 1 1处的切线斜率为 2 故切线方程为21yx 与 2 21yaxax 联立得 2 20axax 显然0a 所以由 2 808aaa 16 设tan xt 1 42 xt 44 3 22 2 422 2tan2222 tan2 tan8 111111 1 tan1 244 xt yxx xt ttt 解答题解答题 17 1 解法解法 1 当时 两式相减得 即 得 当时 即 数列是以为首项 公差为的等差数列 解法解法 2 由 得 整理得 两边同除以得 数列是以为首项 公差为 的等差数列 当时 又适合上式 数列的通项公式为 2 解法解法 1 得 解法解法 2 由 两边对取导数得 令 得 18 1 如图 连接 BD 交 AC 于 O 因为 BC CD 即 BCD 为等腰三角形 又 AC 平分 BCD 故 AC BD 以 O 为坐标原点 的方向分别为 x 轴 y 轴 z 轴的正方向 建立空间直角坐标系 O xyz 则 OC CD 1 而 AC 4 得 AO AC OC 3 又 OD CD 故 A 0 3 0 B 0 0 C 0 1 0 D 0 0 因 PA 底面 ABCD 可设 P 0 3 z 由 F 为 PC 边中 点 F 又 3 z 因 AF PB 故 0 即 6 0 舍去 所以 书 山 有 路 5 2 由 1 知 3 0 3 0 0 2 设平面 FAD 的法向量为 n1 x1 y1 z1 平面 FAB 的法向量为 n2 x2 y2 z2 由 n1 0 n1 0 得因此 可取 n1 3 2 由 n2 0 n2 0 得故可取 n2 3 2 从而法向量 n1 n2的夹角的余弦值为 cos n1 n2 故二面角 B AF D 的正弦值为 19 1 当 X 100 130 时 T 500X 300 130 X 800X 39 000 当 X 130 150 时 T 500 130 65 000 所以 2 由 1 知利润 T 不少于 57 000 元当且仅当 120 X 150 由直方图知需求量 X 120 150 的频率为 0 7 所以下一个销售季度内的利润 T 不少于 57 000 元的概率的估计值 为 0 7 3 依题意可得 T 的分布列为 所以 ET 45 000 0 1 53 000 0 2 61 000 0 3 65 000 0 4 59 400 20 1 A a 0 B 0 b 所以 M 解得 a 2b 于是 椭圆 E 的离心率 e 为 2 由 1 知 a 2b 椭圆 E 的方程为即 x2 4y2 4b2 1 依题意 圆心 C 2 1 是线段 PQ 的中点 且 由对称性可知 PQ 与 x 轴不垂直 设其直线方程为 y k x 2 1 代入 1 得 1 4k2 x2 8k 2k 1 x 4 2k 1 2 4b2 0 设 P x1 y1 Q x2 y2 则 由得 解得 从而 x1x2 8 2b2 于是 解得 b2 4 a2 16 椭圆 E 的方程为 21 1 1a 时 2 ln 0 f xxxx x 1 21 1 21 0 xx fxxx xx 当 1 0 2 x 0fx f x为单调减函数 当 1 2 x 0fx f x为单调增函数 f x的单调减区间为 1 0 2 f x的单调增区间为 1 2 2 1 2fxxa x f x在区间 0 1 上是减函数 0fx 对任意 0 1 x 恒成立 即 1 20 xa x 对任意 0 1 x 恒成立 令 1 2g xx x min ag x 易知 g x在 0 1 上单调递减 min 1 1g xg 1a 22 1 把极坐标系下的点化为直角坐标 得 P 0 4 因为点 P 的直角坐标 0 4 满足直线 的方程 所以点 P 在直线 上 2 因为点 Q 在曲线 C 上 故可设点 Q 的坐标为 从而点 Q 到直线 的距离为 由此得 当时 d 取得最小值 且最小值为 23 1 当时 时 得 时 得 时 此时不存在 不等式的解集为 2 略