相似理论与模拟实验例题相似理论与模拟实验例题 例1 静态应力模型 这是一个弹性模型 可求解静态应力问题 a 求导准则 平衡方程 几何方程 例1 静态应力模型 这是一个弹性模型 可求解静态应力问题 a 求导准则 平衡方程 几何方程 0 0 0 Z yyx Y zyx X zyx z yz xz zyyxy zx yx x x u x x v y u xy 物理方程 单值条件 几何相似 物理相似 体力相似 边界条件 物理方程 单值条件 几何相似 物理相似 体力相似 边界条件 1 zyxx E L L y y x x cL v v c E c v E X X c Z Z Y Y X X c X 非定性量 被测量 应力 应变 位移 非定性量 被测量 应力 应变 位移 xy xy x x C L z z y y x x c V V U U c 采用方程分析法求相似准则 对于平衡方程 相似指标 相似准则 采用方程分析法求相似准则 对于平衡方程 相似指标 相似准则 1 1 由几何方程 由几何方程 2 2 0 Xc zc c yc c xc c L zx L yx L x 0 X zyxcc c zx yxx L 1 L cc c LL 1 c cc L L 由物理方程 由物理方程 3 3 c cu u 1 1 4 4 u 由面力边界 u 由面力边界 5 5 由于上面5个准则是由5个不同方程求得的 故是相 互独立的 由于上面5个准则是由5个不同方程求得的 故是相 互独立的 1 c cc E E 1 c c x x 对于为广义相似 对于c 时 为严格相似 最好采用 但对于一些相似材料模型试验 当C 2 8时 在小变形情况下所引起的应力误差 5 这在工程上 是允许的 但在大变形情况下 不精确 对于为广义相似 对于c 时 为严格相似 最好采用 但对于一些相似材料模型试验 当C 2 8时 在小变形情况下所引起的应力误差 5 这在工程上 是允许的 但在大变形情况下 不精确 1 c cc E 1 对于严格相似 C 时 有 1 1 L cc c 1 c c L 1 c cE 1 c 1 c xc 如对于一个软弱岩体高边坡问题 原型为20m高 试 验 室 内 可 采 用 相 似 材 料 模 型 试 验 取 1m 则 c 如对于一个软弱岩体高边坡问题 原型为20m高 试 验 室 内 可 采 用 相 似 材 料 模 型 试 验 取 1m 则 cL L 20 1 20 可采用石膏作相似材料 通过试验可知 C 20 1 20 可采用石膏作相似材料 通过试验可知 CE E 由得 即 石膏的混合料比岩石大10倍 很难 找不到这种材料 为此 取 1而是 5 则 故可在石膏中 加铁屑即可 这就是说 不是非取1不可 在小变形范围内 可取 由得 即 石膏的混合料比岩石大10倍 很难 找不到这种材料 为此 取 1而是 5 则 故可在石膏中 加铁屑即可 这就是说 不是非取1不可 在小变形范围内 可取 2 E E 1 L cc c 10 1 20 2 L c c c 10 c c 102 5 E ccc 2 1 20 25 L E c cc c 2 c c 8 对于相似材料试验 如果 C 对于相似材料试验 如果 Cl l 20 C 20 Cr r 1 2 C 1 2 CE E 2 C 2 Cu u 1 则有 C 1 则有 C C Cr rC Cl l C CE E 5 C 5 C C C C Cl l 5 20 100 但对于大多数结构试验 采用严格相似 则 1 这时不考虑自重应力场 上部荷载采用施 加边界面力模拟 5 20 100 但对于大多数结构试验 采用严格相似 则 1 这时不考虑自重应力场 上部荷载采用施 加边界面力模拟 10 x C c 例例2 对钢筋钢纤维高强混凝土梁或柱的强度特性 极限承载力 试验研究 由于钢筋钢纤维高强混凝土结构的强度高 几何 尺寸大 不易进行原型的破坏性试验 可采用缩尺结 构模型 根据试验目的 此类试验不但要搞清加载过程中 结构截面上的 对钢筋钢纤维高强混凝土梁或柱的强度特性 极限承载力 试验研究 由于钢筋钢纤维高强混凝土结构的强度高 几何 尺寸大 不易进行原型的破坏性试验 可采用缩尺结 构模型 根据试验目的 此类试验不但要搞清加载过程中 结构截面上的应力分布情况应力分布情况 而且还要测量模型的 而且还要测量模型的破 坏荷载 破 坏荷载 所以 模型设计不但要满足应力 变形的相 似条件 而且还要 所以 模型设计不但要满足应力 变形的相 似条件 而且还要满足强度相似条件满足强度相似条件 根据相似理论 和弹性力学的基本方程 采用方程分析法 可推导出 其静力模型相似指标为 根据相似理论 和弹性力学的基本方程 采用方程分析法 可推导出 其静力模型相似指标为 模型试验相似指标为 由几何方程得 C 模型试验相似指标为 由几何方程得 C 1 由边界方程得 C 1 由边界方程得 Cp p C C 1 由物理方程得 C 1 由物理方程得 CE EC C C C 1 其中 C 1 其中 Cl l为几何相似常数 C 为几何相似常数 Cp p为荷载 面力 相似常数 为荷载 面力 相似常数 l CC 1 v C C CE E为弹性模量相似常数 C 为弹性模量相似常数 C 为位移相似常数 C 为位移相似常数 C 为应变相似常数 C 为应变相似常数 C 为应力相似常数 C 为应力相似常数 Cv v为泊松比相似常数 钢筋钢纤维高强混凝土结构是由三种材料组成的 复合结构 要使模型和原型各组成部分应力变形严格 相似 必须要使加载变形前后结构模型与原型始终保 持几何相似 故有C 为泊松比相似常数 钢筋钢纤维高强混凝土结构是由三种材料组成的 复合结构 要使模型和原型各组成部分应力变形严格 相似 必须要使加载变形前后结构模型与原型始终保 持几何相似 故有Cl l C C 即C 即C 1 因此 上述应力 变形相似条件可写为 1 因此 上述应力 变形相似条件可写为 C Cp p C C 1 C 1 CE EC C C C 1 C 1 Cv v 1 1 为了使模型的破坏荷载和破坏形态与原结构完全 相似 不但要满足上述弹性状态下应力应变相似 而 且还要满足以下 1 1 为了使模型的破坏荷载和破坏形态与原结构完全 相似 不但要满足上述弹性状态下应力应变相似 而 且还要满足以下强度相似条件强度相似条件 强度相似条件 强度相似条件 a 模型与原型的材料 在加载全过程中应 力应变曲线相似 b 结构各部分材料的强度相似 c 结构破坏的强度准则相似 a 模型与原型的材料 在加载全过程中应 力应变曲线相似 b 结构各部分材料的强度相似 c 结构破坏的强度准则相似 显而易见 要完全满足上述相似条件 模型材料 最好采用结构的材料 这样易于保证模型试验结果与 原型结构严格相似 因此 试验采用原材料结构模 型 故有 C 显而易见 要完全满足上述相似条件 模型材料 最好采用结构的材料 这样易于保证模型试验结果与 原型结构严格相似 因此 试验采用原材料结构模 型 故有 CE E C C C Cp p C CR R 1 C 1 C 1 C 1 C 1 2 式中 C 1 2 式中 CR R为强度相似常数 C 为强度相似常数 C 为钢筋配筋率相似常数 C 为钢筋配筋率相似常数 C 为钢纤维体积率的相似常数 为钢纤维体积率的相似常数 在这种情况下 只要确定适当的几何相似常 数就可以了 试验得到的模型强度就等于结构强度 在这种情况下 只要确定适当的几何相似常 数就可以了 试验得到的模型强度就等于结构强度 例3 一钢桥跨度10m 最大集中荷重为10t 现 用一个1m长 几何形状与钢桥相似之梁作试验 求桥的应力 解 假设应力 与荷载 例3 一钢桥跨度10m 最大集中荷重为10t 现 用一个1m长 几何形状与钢桥相似之梁作试验 求桥的应力 解 假设应力 与荷载P 长度 长度L和材料弹性模量和材料弹性模量E 有关 则可写出方程 有关 则可写出方程 1 将 将 1 式转换成准则方程 式转换成准则方程 2 令 即 令 即 3 0fP L E 22 0 KK fPK LM E MM 1 1 LM PK 1 1 M L K P 将 3 式代入 2 式得 4 将 3 式代入 2 式得 4 由由 4 式得到两个准则 式得到两个准则 22 11 11 0 11 PP fPLE PL LL 22 1 1 0 LE L f PP 2 1 L P 2 2 EL P 当试验模型的材料与钢桥材料相同 即E相同 时 则 5 根据相似定理 经转换得 6 因E相同 即 则 则 即 当材料相同时 其模型与钢桥的对应点上之应力 相等 因此 当试验模型的材料与钢桥材料相同 即E相同 时 则 5 根据相似定理 经转换得 6 因E相同 即 则 则 即 当材料相同时 其模型与钢桥的对应点上之应力 相等 因此 2 1 32 2 EL E P L P 3 EE E E CC E 1 E C 1C 7 则 即 8 因 则 代入 7 则 即 8 因 则 代入 1 式 得 式 得 2 2 1 L L PP 2 p p L L 2 P l C C C 1 EE CCC 1C 2 Pl CC 钢桥长钢桥长10m 模型长模型长1m 则 则 9 原钢桥上集中荷载 则模型对应处应力荷载 此时所测的应力值即为钢桥对应点的应力 值 若模型所用材料与钢桥材料不同时 且已知两者 弹性模量之比 则 原钢桥上集中荷载 则模型对应处应力荷载 此时所测的应力值即为钢桥对应点的应力 值 若模型所用材料与钢桥材料不同时 且已知两者 弹性模量之比 则 10 10 1 l C 22 10100 Pl P CC P 100 P P 10 1000 P1000 1 100 kgt 2 E E C E 2 2 2 EL EL PP 可导出 则 可导出 则 10 从 从 5 式可得 即 即模型上所测得应力 仅为钢桥上对应点应力之 式可得 即 即模型上所测得应力 仅为钢桥上对应点应力之 1 2 也就是说 钢桥上对应点应力 当模型长度仍为 也就是说 钢桥上对应点应力 当模型长度仍为1m时 从 时 从 10 式可得 式可得 11 2 2 P E l C C C 2 2 Pl CC 2 E CC 2 2 2 2 2 10 200 P P C P 10 1000 500 05 200200 P Pkgt 此时 由于弹性模量之缩比 则带 来模型试验时加载减少 同时测得的应力亦小 于原型对应点应力 均小了2倍 因 此时 由于弹性模量之缩比 则带 来模型试验时加载减少 同时测得的应力亦小 于原型对应点应力 均小了2倍 因 1 E C 2 E C 例4 已知梁受力后变形方程为 1 式中E 弹性模数 J 转动惯量 y 变形 l 梁的长度 M x 弯矩 K 系数 q 荷 载 试求准则 解 设一与 例4 已知梁受力后变形方程为 1 式中E 弹性模数 J 转动惯量 y 变形 l 梁的长度 M x 弯矩 K 系数 q 荷 载 试求准则 解 设一与 1 式相似之梁受力后的变形方程 为 2 式中符号同 1 式相似之梁受力后的变形方程 为 2 式中符号同 1 2 2 2 d y EJM xKql dl 2 2 2 d y E JKq l dl 写出单值条件的相似常数式 写出单值条件的相似常数式 3 将 将 3 式代入 式代入 1 式得 式得 4 EI yl q EJ CC EJ yl CC yl q C q 2 2 2 2 d y EJq l l Cy C EC JkC qCl Cdl 比较 5 式和 2 式得 比较 5 式和 2 式得 6 将 3 式代入 6 式得 将 3 式代入 6 式得 2 2 24 d EJy ql C C C y E Jkq l C C dl 4 1 EJy ql C C C C C 4 4 1 EJy EJy ql q l 准则 准则 7 由 7 式可得变形 本例中参数n 5个 基本量有 L K 即m kg 两个 K 2 根