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第16章平行四边形的认识16.1平行四边形的性质 16.2矩形、菱形与正方形的性质 1. 矩形 2. 菱形 3. 正方形阅读材料 黄金矩形 16.3梯形的性质 阅读材料 四边形的变身术小结 复习题第16章平行四边形的认识平行四边形是我们常见的一种图形,它具有十分和谐的对称美它是什么样的对称图形呢?它又具有哪些基本性质呢?读下去,你就会发现这些答案了16.1 平行四边形的性质平行四边形是随处可见的几何图形,本章导图上的桌面、书面甚至连在阳光照耀下它们的影子都是平行四边形回 忆我们知道,有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形(parallelogram)你能从图16.1.1所示的图形中找出平行四边形吗?图16.1.1两组对边分别平行,是平行四边形的一个主要性质除此之外,它还有什么性质呢?探 索如图16.1.2,按照下面的步骤,在方格纸上画一个平行四边形步骤1: 画两条平行线步骤2: 在两条线上分别取点A和点B,连结AB步骤3: 沿着水平方向平移AB到DC,就得到ABCD图16.1.2如图16.1.3,用剪刀把ABCD(可以先放大些)从方格纸上剪下,再在一张纸上沿ABCD的边沿,画出一个四边形,记为EFGH则四边形EFGH和ABCD完全一样,也为平行四边形它们的对应边、对应角都相等在ABCD中连结AC、BD,它们的交点记为O用一枚图钉在O点穿过,将ABCD绕点O旋转180观察旋转后的ABCD和纸上所画的EFGH是否重合你能从中得出ABCD的一些边角关系吗?图16.1.3我们发现,旋转180之后两个平行四边形完全重合,即平行四边形是中心对称图形,对角线的交点O就是对称中心由此可以得到ADBC, ABDC,AC, BD即平行四边形的对边相等,对角相等例1如图16.1.4,在ABCD中,已知A40,求其他各个内角的度数图16.1.4解 在ABCD中,DB, CA40(平行四边形的对角相等)又 ADBC,B180-A180-40140,DB140例2如图16.1.5,在ABCD中,已知AB8,周长等于24,求其余三条边的长图16.1.5解 在ABCD中,ABDC, ADBC(平行四边形对边相等)又AB8,AB+BC+CD+DA24, CD8,ADBC4练习1. 已知在ABCD中,A120,求其余各内角的度数2. 已知在ABCD中,AB5, BC3,求它的周长观 察在如图16.1.3那样的旋转过程中,你观察到OA与OC、OB与OD的关系吗?我们已经发现,ABCD是一个中心对称图形,对角线的交点O就是对称中心,所以OAOC, OBOD即平行四边形的对角线互相平分例3如图16.1.6,在ABCD中,已知对角线AC和BD相交于点O,AOB的周长为15,AB6,那么对角线AC与BD的和是多少?图16.1.6解 在ABCD中,已知AB6,AO+BO+AB15,AO+BO15-69又AOOC, BOOD(平行四边形对角线互相平分),AC+BD2AO+2BO2(AO+BO)18试一试如图16.1.7,在方格纸上画两条互相平行的直线,在其中一条直线上任取若干点,过这些点作另一条直线的垂线,用刻度尺度量出平行线之间的垂线段的长度图16.1.7经过度量,我们发现这些垂线段的长度都相等(从图16.1.7中也可以看到这一点)这种现象说明了平行线的又一个性质:平行线之间的距离处处相等练习1. 在ABCD中,两条对角线AC、BD相交于点O,指出图形中相等的线段 (第1题) (第2题)2. 如图,如果直线l1l2,那么ABC的面积和DBC的面积是相等的你能说出理由吗?你还能在这两条平行线l1、l2之间画出其他与ABC面积相等的三角形吗?习题16.11. 如图,在ABCD中,AE垂直于CD,E是垂足如果B55,那么D与DAE分别等于多少度?(第1题)2. 如图,在ABCD中,已知AC、BD相交于点O,两条对角线的和为厘米,CD的长为5厘米,求OCD的周长(第2题)3. 在ABCD中,A与B的度数之比为,求这个平行四边形各个内角的度数4. 如图,已知ABCD的周长为80cm,对角线AC与BD相交于点O,AOB的周长比AOD的周长小20cm,求这个平行四边形各边的长(第题)16.2 矩形、菱形与正方形的性质1. 矩形试一试如图16.2.1,用四段木条做一个平行四边形的活动木框,将其直立在地面上轻轻地推动点D,你会发现什么?图16.2.1可以发现,角的大小改变了,但不管如何,它仍然保持平行四边形的形状我们若改变平行四边形的内角,使其一个内角恰好为直角,就得到一种特殊的平行四边形,也就是我们早已熟悉的长方形,即矩形(rectangle),如图16.2.2所示图16.2.2平行四边形所具有的性质,矩形都具有,此外,矩形还具有另一些特有的性质,你能说出几条吗?作为特殊的平行四边形,矩形也是中心对称图形我们很容易发现矩形还是轴对称图形,对称轴为通过对边中点的直线这样,我们可以列出矩形所具有的一些性质:矩形的四个内角都是直角矩形的对角线相等且互相平分图16.2.3例1如图16.2.3,矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形,如果四个小三角形的周长的和是86cm,对角线长是13cm,那么矩形的周长是多少?解 AOB、BOC、COD和AOD四个小三角形的周长和为86cm,又 ACBD13cm(矩形的对角线相等),AB+BC+CD+DA86-2(AC+BD) 86-41334(cm),即矩形ABCD的周长等于34cm练习1. 如图,在矩形ABCD中,找出相等的线段与相等的角 (第1题) (第2题)2. 如图,矩形ABCD的两条对角线交于点O,且AOD120,你能说明 AC2AB 吗?例2如图16.2.4,在矩形ABCD中,AB3, BC4, BEAC于E试求出BE的长图16.2.4解在矩形ABCD中,ABC90,AC5(勾股定理)又SABCABBCACBE,BE2.4练习1. 如图,在矩形ABCD中,E是边AD上的一点试说明BCE的面积与矩形ABCD的面积之间的关系 (第1题) (第2题)2. 如图,在矩形ABCD中,AOB60, AB3.6,试求AC与AD的长(精确到0.1)2. 菱形试一试将一张矩形的纸对折再对折,然后沿着图中的虚线剪下,打开,你发现这是一个什么样的图形呢?这就是另一类特殊的平行四边形,即菱形(rhombus)如图16.2.5,菱形是一组邻边相等的平行四边形。 图16.2.5 图16.2.6如图16.2.6,菱形是中心对称图形,也是轴对称图形,对称轴为它的对角线所在的直线这样,菱形具有以下的性质:菱形的四条边都相等菱形的对角线互相垂直平分,并且每一条对角线平分一组对角例3如图16.2.7,在菱形ABCD中,BAD2B,试求出B的度数,并说明ABC是等边三角形图16.2.7解(1) 在菱形ABCD中,B+BAD180(两直线平行,同旁内角互补)又BAD2B,B60(2) 在菱形中,(菱形的四条边都相等), 在中,(等边对等角)又B+BAC+BCA180(三角形内角和等于180),BACBCAB60ABBCAC(等角对等边),即ABC是等边三角形菱形的应用非常广泛现在流行一种新式的衣帽架,可以根据需要将它伸缩,形成各种形状的菱形,固定在墙上,既美观又实用 可伸缩的衣帽架练习练习1. 如图,在菱形ABCD中,AB5, OA4,求这一菱形的周长与两条对角线的长度(第1题)2. 试说明菱形的面积等于它的两条对角线长的积的一半例4如图16.2.8,已知菱形ABCD的边长为2cm,BAD120,对角线AC、BD相交于点O,试求这个菱形的两条对角线AC与BD的长图16.2.8解(1) 在菱形ABCD中,BAOBAD60(菱形的每一条对角线平分一组对角)又在ABC中,ABBC,BCABAC60(等边对等角),ABC180-BCA-BAC60,ABC为等边三角形,ACAB2(cm)(2) 在菱形中,(菱形的对角线互相垂直), 为直角三角形, (勾股定理), (cm)练习1. 如图,已知菱形ABCD的边AB长5cm,一条对角线长6cm,求这个菱形的周长和它的面积 (第1题) (第2题)2. 如图,已知菱形ABCD的一条对角线BD恰好与其边AB的长相等,求这个菱形的各个内角的度数3. 正方形正方形(square)是我们早就熟悉的平面图形,如图16.2.9,在正方形ABCD中,四条边都相等,四个角都是直角所以正方形可以看作为:有一个角是直角的菱形;有一组邻边相等的矩形正方形是中心对称图形,也是轴对称图形 图16.2.9 图16.2.10例5如图16.2.10,在正方形 ABCD 中,求ABD、DAC、DOC的度数解 由于正方形是一个角为直角的菱形,每一条对角线平分一组对角,且对角线互相垂直平分, ABDDAC901/245,DOC90正方形还有许多有趣的性质例如,如果要用给定长度的篱笆围成一个最大面积的四边形区域,那么应当把这区域的形状选成正方形练习1. 在下列图中,有多少个正方形?有多少个矩形? ()()2. 已知正方形ABCD的边AB长2cm,求这个正方形的周长、对角线长和它的面积习题16.21. 如图,已知矩形ABCD的一条对角线AC长8cm,两条对角线的一个交角AOB60求这个矩形的周长(精确到0.1cm) (第1题) (第2题)2. 如图,已知菱形ABCD的两条对角线AC、BD分别长6cm和8cm,求这个菱形的周长和它
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