1 2019 年中考数学开放性问题 真题汇编 名师精选全国真题实战训练名师精选全国真题实战训练 答案 值得下载练习答案 值得下载练习 一 选择题一 选择题 1 1 2018 浙江舟山 3 分 某届世界杯的小组比赛规则 四个球队进行单循环比赛 每 两队赛一场 胜一场得 3 分 平一场得 1 分 负一场得 0 分 某小组比赛结束后 甲 乙 丙 丁四队分别获得第一 二 三 四名 各队的总得分恰好是四个连续奇数 则与乙打 平的球队是 A 甲 B 甲与丁 C 丙 D 丙与丁 考点 推理与论证 分析 需要推理出甲 乙 丙 丁四人的分数 每个人都要比赛 3 场 要是 3 场全胜得 最高 9 分 根据已知 甲 乙 丙 丁四队分别获得第一 二 三 四名 和 各队的总得分 恰好是四个连续奇数 可推理出四人的分数各是多少 再根据胜 平 负一场的分数去讨 论打平的场数 解答 解 小组赛一共需要比赛场 由分析可知甲是最高分 且可能是 9 或 7 分 当甲是 9 分时 乙 丙 丁分别是 7 分 5 分 3 分 因为比赛一场最高得分 3 分 所以 4 个队的总分最多是 6 3 18 分 而 9 7 5 3 18 故不符合 当甲是 7 分时 乙 丙 丁分别是 5 分 3 分 1 分 7 5 3 1 18 符合题意 因为每人要参加 3 场比赛 所以甲是 2 胜一平 乙是 1 胜 2 平 丁是 1 平 2 负 2 则甲胜丁 1 次 胜丙 1 次 与乙打平 1 次 因为丙是 3 分 所以丙只能是 1 胜 2 负 乙另外一次打平是与丁 则与乙打平的是甲 丁 故答案是 B 点评 要注重分类讨论 二二 解答题解答题 要求同上一 1 2018 湖南省衡阳湖南省衡阳 10 分 如图 已知直线 y 2x 4 分别交 x 轴 y 轴于点 A B 抛 物线过 A B 两点 点 P 是线段 AB 上一动点 过点 P 作 PC x 轴于点 C 交抛物线于点 D 1 若抛物线的解析式为 y 2x2 2x 4 设其顶点为 M 其对称轴交 AB 于点 N 求点 M N 的坐标 是否存在点 P 使四边形 MNPD 为菱形 并说明理由 2 当点 P 的横坐标为 1 时 是否存在这样的抛物线 使得以 B P D 为顶点的三角形 与 AOB 相似 若存在 求出满足条件的抛物线的解析式 若不存在 请说明理由 解答 解 1 如图 1 y 2x2 2x 4 2 x 2 顶点为 M 的坐标为 3 当 x 时 y 2 4 3 则点 N 坐标为 3 不存在 理由如下 MN 3 设 P 点坐标为 m 2m 4 则 D m 2m2 2m 4 PD 2m2 2m 4 2m 4 2m2 4m PD MN 当 PD MN 时 四边形 MNPD 为平行四边形 即 2m2 4m 解得 m1 舍去 m2 此时 P 点坐标为 1 PN PN MN 平行四边形 MNPD 不为菱形 不存在点 P 使四边形 MNPD 为菱形 2 存在 如图 2 OB 4 OA 2 则 AB 2 当 x 1 时 y 2x 4 2 则 P 1 2 PB 设抛物线的解析式为 y ax2 bx 4 把 A 2 0 代入得 4a 2b 4 0 解得 b 2a 2 抛物线的解析式为 y ax2 2 a 1 x 4 当 x 1 时 y ax2 2 a 1 x 4 a 2a 2 4 2 a 则 D 1 2 a PD 2 a 2 a DC OB DPB OBA 4 当 时 PDB BOA 即 解得 a 2 此时抛物线解析式为 y 2x2 2x 4 当 时 PDB BAO 即 解得 a 此时抛物线解析式为 y x2 3x 4 综上所述 满足条件的抛物线的解析式为 y 2x2 2x 4 或 y x2 3x 4 2 2018 株洲市 下图为某区域部分交通线路图 其中直线 直线 与直线 都垂直 垂足分别为点 A 点 B 和点 C 高速路右侧边缘 上的点 M 位于点 A 的北偏东 30 方向上 且 BM 千米 上的点 N 位于点 M 的北偏东 方向上 且 MN 千米 点 A 和点 N 是城际线 L 上的两个相邻的站点 5 1 求之间的距离 2 若城际火车平均时速为 150 千米 小时 求市民小强乘坐城际火车从站点 A 到站点 N 需要多少小时 结果用分数表示 答案 1 2 2 小时 解析 分析 1 直接利用锐角三角函数关系得出 DM 的长即可得出答案 2 利用 tan30 得出 AB 的长 进而利用勾股定理得出 DN 的长 进而 得出 AN 的长 即可得出答案 详解 1 过点 M 作 MD NC 于点 D cos MN 2千米 cos 解得 DM 2 km 答 l2和 l3之间的距离为 2km 2 点 M 位于点 A 的北偏东 30 方向上 且 BM 千米 tan30 解得 AB 3 km 6 可得 AC 3 2 5 km MN 2km DM 2km DN 4 km 则 NC DN BM 5 km AN 10 km 城际火车平均时速为 150 千米 小时 市民小强乘坐城际火车从站点 A 到站点 N 需要小时 点睛 此题主要考查了解直角三角形的应用 正确得出 AN 的长是解题关键 3 2018 四川自贡 14 分 如图 抛物线 y ax2 bx 3 过 A 1 0 B 3 0 直线 AD 交抛物线于点 D 点 D 的横坐标为 2 点 P m n 是线段 AD 上的动点 1 求直线 AD 及抛物线的解析式 2 过点 P 的直线垂直于 x 轴 交抛物线于点 Q 求线段 PQ 的长度 l 与 m 的关系式 m 为何值时 PQ 最长 3 在平面内是否存在整点 横 纵坐标都为整数 R 使得 P Q D R 为顶点的四边 形是平行四边形 若存在 直接写出点 R 的坐标 若不存在 说明理由 分析 1 根据待定系数法 可得抛物线的解析式 根据自变量与函数值的对应关系 可得 D 点坐标 再根据待定系数法 可得直线的解析式 2 根据平行于 y 轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标 可得二次函数 根据二次函数的性质 可得答案 3 根据 PQ 的长是正整数 可得 PQ 根据平行四边形的性质 对边平行且相等 可得 DR 的长 根据点的坐标表示方法 可得答案 7 解答 解 1 把 1 0 3 0 代入函数解析式 得 解得 抛物线的解析式为 y x2 2x 3 当 x 2 时 y 2 2 2 2 3 解得 y 3 即 D 2 3 设 AD 的解析式为 y kx b 将 A 1 0 D 2 3 代入 得 解得 直线 AD 的解析式为 y x 1 2 设 P 点坐标为 m m 1 Q m m2 2m 3 l m 1 m2 2m 3 化简 得 l m2 m 2 配方 得 l m 2 当 m 时 l最大 3 DR PQ 且 DR PQ 时 PQDR 是平行四边形 由 2 得 0 PQ 又 PQ 是正整数 PQ 1 或 PQ 2 当 PQ 1 时 DR 1 3 1 2 即 R 2 2 3 1 4 即 R 2 4 8 当 PQ 2 时 DR 2 3 2 1 即 R 2 1 3 2 5 即 R 2 5 综上所述 R 点的坐标为 2 2 2 4 2 1 2 5 使得 P Q D R 为顶 点的四边形是平行四边形 点评 本题考查了二次函数综合题 解 1 的关键是待定系数法 解 2 的关键是利 用二次函数的性质 解 3 的关键是利用 DR PQ 且是正整数得出 DR 的长 4 2018 浙江舟山 8 分 某厂为了检验甲 乙两车间生产的同一款新产品的合格情况 尺寸范围为 176mm 185mm 的产品为合格 随机各轴取了 20 个样品进行测 过程如下 收集数据 单位 mm 甲车间 168 175 180 185 172 189 185 182 185 174 192 180 185 178 173 185 169 187 176 180 乙车间 186 180 189 183 176 173 178 167 180 175 178 182 180 179 185 180 184 182 180 183 整理数据 分析数据 应用数据 1 计算甲车间样品的合格率 2 估计乙车间生产的 1000 个该款新产品中合格产品有多少个 3 结合上述数据信息 请判断个车间生产的新产品更好 并说明理由 考点 数据分析 9 解析 分析 1 由题意可知 合格的产品的条件为尺寸范围为 176mm 185mm 的产品 所以甲车间合格的产品数是 5 6 再除总个数即可 2 需要先求出乙车间的产品的合格率 而合格产品数 a b 的值除了可以样品数据中 里数出来 也可以由 20 1 2 2 得到 3 分析数据中的表格提供了甲 乙车间的平均数 众数 中位数和方差数据 根据它们 的特点结合数据的大小进行比较及评价即可 解答 1 甲车间样品的合格率为 100 55 2 乙车间样品的合格产品数为 20 1 2 2 15 个 乙车间样品的合格率为 100 75 乙车间的合格产品数为 1000 75 750 个 3 从样品合格率看 乙车间合格率比甲车间高 所以乙车间生产的新产品更好 从 样品的方差看 甲 乙平均数相等 且均在合格范围内 而乙的方差小于甲的方差 说明 乙比甲稳定 所以乙车间生产的新产品更好 点评 本题考查数据分析及应用数据的能力 5 2018 年四川省内江市 对于三个数 a b c 用 M a b c 表示这三个数的中位数 用 max a b c 表示这三个数中最大数 例如 M 2 1 0 1 max 2 1 0 0 max 2 1 a 解决问题 1 填空 M sin45 cos60 tan60 如果 max 3 5 3x 2x 6 3 则 x 的取 值范围为 2 如果 2 M 2 x 2 x 4 max 2 x 2 x 4 求 x 的值 3 如果 M 9 x2 3x 2 max 9 x2 3x 2 求 x 的值 考点 AD 一元二次方程的应用 8A 一元一次方程的应用 CE 一元一次不等式组 的应用 T5 特殊角的三角函数值 10 分析 1 根据定义写出 sin45 cos60 tan60 的值 确定其中位数 根据 max a b c 表示这三个数中最大数 对于 max 3 5 3x 2x 6 3 可得不等式组 则 可得结论 2 根据新定义和已知分情况讨论 2 最大时 x 4 2 时 2 是中间的数时 x 2 2 x 4 2 最小时 x 2 2 分别解出即可 3 不妨设 y1 9 y2 x2 y3 3x 2 画出图象 根据 M 9 x2 3x 2 max 9 x2 3x 2 可知 三个函数的中间的值与最大值相等 即有两个函数相交时对应的 x 的值符合条件 结合图象可得结论 解答 解 1 sin45 cos60 tan60 M sin45 cos60 tan60 max 3 5 3x 2x 6 3 则 x 的取值范围为 故答案为 2 2 M 2 x 2 x 4 max 2 x 2 x 4 分三种情况 当 x 4 2 时 即 x 2 原等式变为 2 x 4 2 x 3 x 2 2 x 4 时 即 2 x 0 原等式变为 2 2 x 4 x 0 当 x 2 2 时 即 x 0 原等式变为 2 x 2 x 4 x 0 综上所述 x 的值为 3 或 0 3 不妨设 y1 9 y2 x2 y3 3x 2 画出图象 如图所示 结合图象 不难得出 在图象中的交点 A B 点时 满足条件且 M 9 x2 3x 2 11 max 9 x2 3x 2 yA yB 此时 x2 9 解得 x 3 或 3 点评 本题考查了方程和不等式的应用及新定义问题 理解新定义 并能结合图象 可 以很轻松将抽象题或难题破解 由此看出 图象在函数相关问题的作用是何等重要