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09级线性代数()阶段练习题(二)一、填空题1.矩阵则2.解:.2.设为三阶非零矩阵,且,则.解:定非可逆阵,因此.3.若四阶矩阵的秩则.(见证明题5)4.已知向量组线性无关,, ,则当2时,线性相关.解:,若矩阵非奇,则线性无关.而.5.若向量组线性无关,则向量组线性无关.解:而为非奇矩阵,故向量组线性无关.6.若向量组线性无关,向量组线性相关.解:,其中,故向量组线性相关.7.向量组当时可由线性表示.解: 线性无关,只有当向量组线性相关时可由线性表示.此时.8.线性方程组的基础解系为.解:对方程组的系数阵进行初等变换原方程组与同解,令取和,可得方程组的基础解析.9.四元方程组中,是它的三个解.其中,则方程组的通解为.解:,存在基础解系(只有一个线性无关的解向量).是的基础解系.的通解为.10.向量空间的维数是.二、选择题1.下列矩阵中()是初等矩阵.2.设矩阵,则矩阵的秩().事实上.3.向量组线性无关,以下()组向量线性无关.因此应选.4.向量组线性无关,也线性无关,则满足.事实上,而,即.故应选.5.矩阵,为三阶非零矩阵且,则有.;.将矩阵按列分块为.当时,可以是1,也可以是2.断言并无依据.当时,.的诸列均为的解,其一、三列线性无关,即有两个线性无关的非零解,当有;又因,又有,因此必有.选.6.齐次线性方程组(为矩阵)仅有零解的充分必要条件是.事实上可能无解.7.齐次线性方程组的基础解系中有( )线性无关的解向量.,因此基础解系中有两个线性无关的解向量,选.8.设有线性方程组和对应的齐次线性方程组则必有.9.已知元线性方程组,系数阵的秩,是方程组线性无关的解,则方程组的通解为.(为任意常数);.10.由的基到基的过渡矩阵为.三、计算题1.矩阵,求矩阵的秩,写出的一个最高阶非零子式.解:由(*)知.的1,2,4行1,2,5列所在的三阶子式.2.给定向量组: .(1)求向量组的秩,并判断该向量组的线性相关性;(2)求该向量组的一个最大无关组,并把其余向量用最大无关组线性表示.解:由(*)知,向量组线性相关.是向量组的一个最大无关组,且有:.3.已知,(1)当为何值时,不能表示为的线性组合;(2)当为何值时,有的唯一线性表达式,写出该表达式.解:设(*)(1)当时,,方程组无解.故不能表示为的线性组合.(2)当时,,方程组有唯一解.由Cramer法则可得:.此时有的唯一线性表达式:.4.设,求一个矩阵,使,且.解:设均为方程组的解.(*)与(*)对应的方程组为,令取和,得到方程组的基础解系,显然线性无关,令,且有.5.向量组线性无关,试讨论向量组的线性相关性.解:设有数使得,即有:.由于线性无关,故必有(*)方程组(*)的系数行列式.当为奇数时,,方程组(*)只有零解,必全为零,向量组的线性无关;当为偶数时,,方程组(*)有非零解,即存在不全为零的数使,向量组线性相关.6.用基础解系表示方程组的通解.解:对方程组的系数阵施行初等行变换(*)所对应的方程组为与原方程组同解.令,得到基础解系:.原方程组的通解为:为任意实数).7.用对应的齐次方程组的基础解析表示方程组的通解.解:对方程组的增广矩阵施行初等行变换由(*)知,方程组有解.(*)所对应的方程组为,令得到方程组的特解.原方程组所对应的齐次方程组与同解.令,得到对应齐次方程组的基础解系:原方程组的通解为:为任意实数).8.给定线性方程组,当为何值时方程组有解? 在有解的情况下,求其全部解.解:对方程组的增广矩阵施行初等行变换当时,,方程组有解.(*)对应的方程组为令得到方程组的特解.与原方程组对应的齐次方程组与同解,令,得到对应齐次方程组的基础解系:原方程组的通解为:为任意实数).9.当取何值时,线性方程组无解,有唯一解,有无穷多解? 在方程组有无穷多解时,用对应的齐次方程组的基础解系表示方程组的通解.解: 对方程组的增广矩阵施行初等行变换当时,无论取何值,方程组有唯一解.当时此时,方程组无解.当时,,方程组有无穷多解.此时原方程组与同解,令,得到方程组的特解:.与原方程组对应的齐次方程组与同解,令,可得基础解系:.方程组的通解为:为任意实数).10.已知的两个基为,求由基到基的过渡矩阵.解:设的列向量组是两个基,因此矩阵均为可逆矩阵.设,过渡矩阵.因此从基到基的过渡矩阵.四、证明题1.设为列满秩矩阵,,证明线性方程与同解.证:若是的解,当有,于是.这说明的解必为的解;若是的解,矩阵列满秩,由定理4的逆否命题)方程组只有零解,即说明的解也是的解,因此线性方程组与同解.2.设为矩阵,证明方程有解的充分必要条件是.证:由于,根据定理6方程有解.3.设是一组维向量,已知维单位坐标向量能由它们线性表示,证明线性无关.证:设,是阶方阵,(*).题设能由线性表示,由定理6又有(*)由(*)和(*)知,故线性无关.4.设阶矩阵满足为阶单位阵,证明.证:由于,由矩阵的秩的性质6,,而,故有(*) ;另由可得,根据矩阵的秩的性质8,又有(*).从(*)和(*)知有.5.设为阶矩阵,为的伴随矩阵,证明.证:若满秩必非奇,非奇必满秩,因此.若.但中至少有一个非零的阶子式,即中至少有一个非零元,因此(*).另一方面有由矩阵的秩的性质8,即有(*).由(*)和(*)便知必有.若中任意阶子式均为零,即中所有元素均为零,是个零矩阵.故有.
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