第九章 多元函数的微分法及其应用 1多元函数概念 1、设.答案： 2、求下列函数的定义域：(1) (2) 3、求下列极限： (1) （0） (2) (0) 2 偏导数1、设z= ,验证 证明：，2、求空间曲线在点（）处切线与x轴正向夹角()3、设, 求 ( 1)4、设u=(x2+yz3) 3，求及.解: =3(x2+yz3)2 2x=6x(x2+yz3)2 ， =3(x2+yz3)2 z3=3z3(x2+yz3)23(x2+yz3)2 3yz2=9yz2(x2+yz3)25、设，证明 : 6、设，求。解：7、设函数在点处的偏导数存在，求 3 全微分1、单选题（1）二元函数在点处连续是它在该点处偏导数存在的 D .(A)必要条件而非充分条件(B)充分条件而非必要条件 (C)充分必要条件(D)既非充分又非必要条件（2）对于二元函数，下列有关偏导数与全微分关系中正确的是 B 。(A)偏导数不连续，则全微分必不存在（B）偏导数连续，则全微分必存在(C)全微分存在，则偏导数必连续（D）全微分存在，而偏导数不一定存在2、求下列函数的全微分：(1) 设求dz解: (2) 设函数( 为常数且）求.解:；(3) 解：3、设，求dz(1,1)解: ,4、设,求：5、讨论函数在(0,0)点处的连续性 、偏导数、可微性。解：，所以在(0,0)点处连续。 ，所以可微。4多元复合函数的求导法则、设，求解：2、设，求 3、设,，其中具有二阶连续偏导数，求。解：；4、设，其中具有二阶连续偏导数，求， 解： , ,= ,5、设，其中对各变元具有二阶连续偏导数，求。解：6、设，证明：。证：；类似可求得；。所以。 5隐函数的求导公式1、设，求解：令，2、设是由方程确定，求。解：=3、设,其中可微。证明: 解：;=+y=4、设，求， ( ，)5、设由方程所确定，可微，求解：令 ，则6、设函数是由方程所确定，求。解： 7、设由方程所确定，证明：。证：；所以6微分法在几何中的应用1、求螺旋线 在对应于处的切线及法平面方程解：切线方程为法平面方程2、求曲线 在（3，4，5）处的切线及法平面方程解：切线方程为 ，法平面方程： 3、求曲面上点(1,1,1)处的切平面和法线方程。解：设，则；。在点(1,1,1)处；，所以法向量切平面方程是：，即；法线方程是：7方向导数与梯度1、设函数，(1)求该函数在点(1,3)处的梯度。2)在点(1,3)处沿着方向的方向导数，并求方向导数达到最大和最小的方向解：梯度为 , 方向导数达到最大值的方向为，方向导数达到 最小值的方向为。2、求函数在(1,2,-1)处沿方向角为的方向导数，并求在该点处方向导数达到最大值的方向及最大方向导数的值。解：方向导数为，该点处方向导数达到最大值的方向即为梯度的方向，此时最大值为 3、求函数在(1,1,-1)处沿曲线在(1,1,1)处的切线正方向(对应于增大的方向)的方向导数。解：，所以该函数在点(1,1,-1)处的方向导数为。4、求函数在(1,1,-1)处的梯度。解：， 8多元函数的极值及求法1、求函数的极值。 答案：（，）极小值点2、设函数由方程确定，求函数的驻点。解：设驻点是(0,0)。3、求的极值。解：；。令=0,=0，得=2；=-1；=1；在(1,0)点处=2，=1，0,函数在(1,0)点处有极值，且由于A=20取极小值。4、求函数在条件下的条件极值。解： ，极小值为5、欲造一个无盖的长方体容器，已知底部造价为3元/平方，侧面造价均为1元/平方，现想用36元造一个容积最大的容器，求它的尺寸。（长和宽2米，高3米）6、旋转抛物面被截成一椭圆，求原点到椭圆的最大与最小距离。解：设为椭圆上的点，原点到的距离为，且满足条件：,。设令得方程组：解得：，, ,根据实际问题，最大距离和最小距离存在，所以为最小距离；为最大距离。7、在第一卦限内作椭球面的切平面，使切平面与三个坐标面所围成的四面体体积最小，求切点坐标。解：椭球面上的点。设，则在点的切平面法向量是，切平面方程：切平面在轴上的截距是：；切平面在轴上的截距是：；切平面在轴上的截距是：；三坐标面与切平面所围的四面体的体积是：。要求体积的最小值，只要求在条件下的最大值即可。设：,令=0,=0,=0，并与条件联立解得由于根据实际情况，体积的最小值存在，且所求得驻点唯一，所以即为所求。第九章 自测题一、选择题：（每题2分，共14分）1、设有二元函数 则 B A、存在；B、不存在；C、存在， 且在(0,0)处不连续；D、存在， 且在(0,0)处连续。2、函数在各一阶偏导数存在且连续是在连续的 B A、必要条件； B、充分条件；C、充要条件； D、既非必要也非充分条件。3、函数 在(0,0)点处 D A、极限值为1； B、极限值为-1；C、连续； D、无极限。4、在处，存在是函数在该点可微分的 A （A）必要条件； （B）充分条件； （C）充要条件； （D）既非必要亦非充分条件。5、点是函数的 B （A）极小值点； （ B）驻点但非极值点；（C）极大值点； （D）最大值点。6、曲面在点P(2,1,0)处的切平面方程是 C （A）； （B）；（C）； （D）7、已知函数均有一阶连续偏导数，那么 B (A); (B) ;(C) ; (D) 二、填空题：（每题分，共18分）1、 （ 0 ）、设，则（ ）、设则( 0 )、设，则在点处的全微分dz=( )。、曲线在点处的切线方程为( )、曲线在点(1,1,1)处的切线方程为( )三、计算题（每题6分）1、设，求的一阶偏导数。解：2、设，求的二阶偏导数。解：,3、设具有各二阶连续偏导数，求解：、设 求和。解： 不存在，故不存在，同理，也不存在。 当时，有 5、设，求：。解：1+ 6、设，且具有二阶连续偏导数，求：，。解：，7、，求：。解：，=四、试分解正数为三个正数之和，而使它们的倒数和为最小。解：设三个正数为，则，记，令则由 解出。第十章 重积分 1二重积分的概念与性质1、设D由圆求 的值 解：由于D的面积为, 故=2、由二重积分的几何意义求二重积分的值 其中D为： ( 解：=)3、 设f(t)连续，则由平面 z=0，柱面 和曲面所围的 立体的体积可用二重积分表示为 （ ）4、设D为圆域若二重积分=，求a的值。解： = 5、设D：， ，比较与的大小关系解：在D上， ,故 2 二重积分的计算法1、设，其中D是由抛物线与直线y=x-4所围成的平面闭区域区域，则I=（ A ） A ： B ： C： D ： 2、设D是由不等式所确定的有界区域，则二重积分为 （ B ）A ：0 B： C： D： 13、设D是由直线x=0,y=2及y=x所围成的区域，则二重积分 的值为（ C ） A： B ： C ： D：4、 设f(x,y)是连续函数，则二次积分交换积分次序后为（ D ） A B C D 5、设有界闭域D1、D2关于oy轴对称，f是域D=D1+D2上的连续函数，则二重 积分为（ A ）A B C D 6、设D1是由ox轴、oy轴及直线x+y=1所围成的有界闭域，f是域D:|x|+|y|1 上的连续函数，则二重积分为（ B ） A B C D 7、设f(x,y)为连续函数，则 交换积分次序的结果为( C ) A B C D 8、设I=,交换积分次序后I为：( D ) 9、改变二次积分的次序： （ = ）10、求 ，其中 由x=2,y=x,xy=1所围成. （ )11、设 D=(x,y)|0x1,0y1 ,求的值 解：=12、计算二重积分，其中D=(x,y)| 0x1,0y1解： =13、计算二重积分，其中D是圆域解：=14、设 I=,其中D是由x2+y2=Rx所围城的区域，求I （解：I=)15、计算二重积分，D： 围成的闭区域（ 解：= ）