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专题限时集训(五)B 第5讲导数在研究函数性质中的应用(时间:45分钟) 1函数yxex的最小值是()A1 Be C D不存在2设曲线y在点(3,2)处的切线与直线axy10垂直,则a()A2 B2 C D.3已知f(a)(2ax2a2x)dx,则函数f(a)的最大值为()A1 B. C. D.4垂直于直线2x6y10且与曲线f(x)x33x21相切的直线l与曲线f(x)及y轴所围成的图形的面积是_5对于R上可导的任意函数f(x),若满足(x1)f(x)0,则必有()Af(0)f(2)2f(1)6函数yxsinxcosx在下面哪个区间上为增函数()A. B(,2)C. D(2,3)7已知函数f(x)x2eax,其中a为常数,e为自然对数的底数,若f(x)在(2,)上为减函数,则a的取值范围为()A(,1) B(,0)C(,1) D(,2)8定义在区间0,a上的函数f(x)的图象如图51所示,记以A(0,f(0),B(a,f(a),C(x,f(x)为顶点的三角形面积为S(x),则函数S(x)的导函数S(x)的图象大致是()图51图529若函数f(x)则f(x)dx_.10已知函数f(x)的定义域为1,5,部分对应值如下表.x1045f(x)1221f(x)的导函数yf(x)的图象如图53所示:图53下列关于f(x)的命题:函数f(x)是周期函数;函数f(x)在0,2是减函数;如果当x1,t时,f(x)的最大值是2,那么t的最大值为4;当1a2时,函数yf(x)a有4个零点;函数yf(x)a的零点个数可能为0,1,2,3,4个其中正确命题的序号是_11已知函数f(x)(xk)2e.(1)求f(x)的单调区间;(2)若对于任意的x(0,),都有f(x),求k的取值范围12已知函数f(x)lnx.(1)函数g(x)3x2x2,若函数F(x)f(x)g(x),求函数F(x)的单调区间;(2)函数h(x),函数G(x)h(x)f(x),若对任意x(0,1),G(x)2恒成立,求实数a的取值范围13已知函数f(x)lnxax,aR.(1)当a1时,求f(x)的极值;(2)讨论函数yf(x)的零点个数;(3)设数列an,bn均为正项数列,且满足a1b1a2b2anbnb1b2bn,求证:a1b1a2b2anbn1.专题限时集训(五)B【基础演练】1C解析 yexxex,令y0,则x1.因为x1时,y1时,y0,所以x1时,ymin,选C.2B解析 y1,所以y,将x3代入得y,所以(a)1,解得a2.3C解析 f(a)(2ax2a2x)dxa2a,这个关于a的二次函数当a时取得最大值,即所求的最大值是f.4.解析 由题意得直线l的斜率为3.又f(x)3x26x,由3x26x3解得x1,此时切点A的坐标是(1,1),切线方程是y13(x1),即y3x2,如图,则所求的面积是1f(x)(3x2)dxx4x3x2x.【提升训练】5C解析 依题意,当x1时,f(x)0,函数f(x)在(1,)上是增函数;当x0,yxcosx0,此时函数yxsinxcosx为增函数,故选C.7A解析 f(x)x(ax2)eax,由题意得f(x)x(ax2)eax0在2,)上恒成立即x(ax2)0在2,)上恒成立,即a在2,)上恒成立,即a1.8D解析 由于AB的长度为定值,只要考虑点C到直线AB的距离的变化趋势即可当x在区间0,a变化时,点C到直线AB的距离先是递增,然后递减,再递增,再递减,S(x)的图象先是在x轴上方,再到x轴下方,再回到x轴上方,再到x轴下方,并且函数在直线AB与函数图象的交点处间断,在这个间断点函数性质发生突然变化,所以选项D中的图象符合要求95解析 f(x)dx0cosxdx2dxsinx02x2sinsin0225.10解析 周期性是函数在整个定义域上的整体性质,周期函数的图象不能是一个闭区间上的一段,必需能够保证周期的无限延展,故函数f(x)不是周期函数,命题不正确;从其导数的图象可知,在区间(0,2)内导数值小于零,故函数f(x)在区间(0,2)上单调递减,由于函数图象是连续的,故在区间0,2是减函数,命题正确;函数f(x)在1,0)上递增、在(0,2)上递减、在(2,4)上递增、在(4,5上递减,函数的最大值只能在f(0)处,或者f(4)处取得,因此只要0t5即可,因此t的最大值为5,命题不正确;由于f(1)1,f(0)2,f(4)2,f(5)1,根据中的单调性,要使1a2时,函数yf(x)a没有零点,当a2时函数有两个零点,当1a2时,根据f(2)在(,2)之间取值的不同,函数可能有四个零点(f(2)1)、两个零点(1f(2)2),当f(2)1,a1时函数有三个零点,当f(2)0,当k0时,f(x)的增区间为(,k),(k,),f(x)的减区间为(k,k),当k0时,f(k1)e,所以不会有x(0,),f(x).当k0时,由(1)有f(x)在(0,)上的最大值是f(k),所以x(0,),f(x)等价于f(k)k0)当x(0,1)时,F(x)0,函数F(x)单调递增,当x(1,)时,F(x)0,函数F(x)单调递减,函数F(x)的单调递增区间为(0,1);函数F(x)的单调递减区间为(1,)(2)G(x)h(x)f(x)lnx,由已知a0,因为x(0,1),所以lnx0.当a0.不合题意当a0时,x(0,1),由G(x)2,可得lnx0.设(x)lnx,则x(0,1),(x)0.(x).设m(x)x2(24a)x1,方程m(x)0的判别式16a(a1)若a(0,1,0,m(x)0,(x)0,(x)在(0,1)上是增函数,又(1)0,所以x(0,1),(x)0,m(0)10,m(1)4(1a)0,所以存在x0(0,1),使得m(x0)0,对任意x(x0,1),m(x)0,(x)0.不合题意综上,实数a的取值范围是(0,113解:(1)当a1时,f(x)1(x0),当0x0,当x1时,f(x)0,f(x)在(0,1)上递增,在(1,)上递减,当x1时,f(x)取得极大值1,无极小值(2)方法1:由f(x)0,得a(*),令g(x),则g(x),当0x0,当xe时,g(x)e时,g(x)0,当a0或a时,方程(*)有唯一解,当0a时,方程(*)无解,所以,当a0或a时,yf(x)有1个零点;当0a时,yf(x)无零点方法2:由f(x)0,得lnxax,yf(x)的零点个数为ylnx和yax的图象交点的个数由ylnx和yax的图象可知:当a0时,yf(x)有且仅有一个零点;当a0时,若直线yax与ylnx相切,设切点为P(x0,y0),因为y(lnx),k切,得x0e,k切,故当a时,yf(x)有且仅有一个零点;当0a时,yf(x)无零点,综上所述,当a0或a时,yf(x)有1个零点;当0a时,yf(x)无零点(3)由(1)知,当x(0,)时,lnxx1.an0,bn0,lnanan1,从而有bnlnanbnanbn,即lnabnnbnanbn(nN*),nabiiiaii,a1b1a2b2anbnb1b2bn,即iaii0,nabii0,即ln(ab11ab22abnn)0,ab11ab22abnn1.- 8 -
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