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专题14共顶点模型破解策略1等边三角形共顶点等边ABC与等边DCE,B、C、E三点共线连结BD、AE交于点F,BD交AC于点G,AE交DC于点H,连结CF、GH,则:(1)BCDACE;(2)AEBD;(3)AFBDFE60;(4)FC平分BFE;(5)BFAFFC,EFDFFC;(6)CGH为等边三角形证明 (1)由已知条件可得,则BCDACE(2)由(1)得AEBD;(3)由(1)得GAFGBC,而AGFBGC,所以DFEAFBACB60(4)方法一 如图1,过点C分别作BD、AE的垂线,垂足分别为M、N 由(1)知SACESBCD,即BDCMAECN,所以CMCN,故FC平分BFE方法二 由CAFCBF,可得A、B、C、F四点共圆,所以BFCBAC60同理可得CFECDE60所以FC平分BFE(5)如图2,作FCI60,交BD于点I,则CFI为等边三角形易证BCIACF,所以BIAF,IFCIFC从而BFBIIFAFCF同理可得EFDFFC(6)易证ACHBCG(ASA) 可得CGCH,而GCH60,所以CGH为等边三角形2等腰直角三角形共顶点等腰RtABC与等腰RtDCE中,ACBDCE90 如图1,连结BD、AE交于点F,连结FC、AD、BE,则:(1)BCDACE;(2)AEBD;(3)AEBD;(4)FC平分BFE;(5)AB2DE2AD2BE2(6)BFAFFC,EFDFFC;(7)如图2,若G、I分别为BE、AD的中点,则GCAD、ICBE(反之亦然);(8)SACDSBCE证明(1)(2)(3)(4)证明见“等边三角形共顶点”;(5)因为AEBD,由勾股定理可得AB2DE2(AF2BF2)(DF2EF2),AD2BE2(AF2DF2)(BF2EF2)所以AB2DE2AD2BE2(6)如图3,过点C作CKFC,交BD于点K,则CFK为等腰直角三角形易证BCKACF,所以BKAF从而BFBKKFAFFC,同理可得EFDFFC(7)如图4,延长GC,交AD延长线于点H,延长CG至点K,使得GKGC,连结BK易证KBGCEG,BKECCD由题意可得ACDBCECBECEBBCE180,所以ACDCBECEBCBGGBKCBK可得ACDCBK(SAS)则CADBCK,所以ACHCAHACHBCK90,故GCAD如图5,CJBE,延长JC交AD于点T,分别过点A,D作IJ的垂线,垂足分别为M、N由已知可得AMCCJB;DNCCJE,所以AMDNCJ,故有AMIDNI,所以AIDI,即可证(8)在(7)中的证明过程中可得到SACDSBCE;也可以用下面的方法来证明如图6,过点D作DPAC于点P,过点E作EQBC,交BC延长线于点Q易证DPCEQC(AAS)所以DPEQ,故DPAC EQBC,即SACDSBCE3等腰三角形共顶点等腰ACB与等腰DCE中,ACBC,DCCE,且ACBDCE连结BD,AE交于点F,则:(1)BCDACE;(2)AEBD;(3)AFBACB;(4)FC平分BFE4相似三角形共顶点ACB与ECD中,ACBECD连结BD,AE交于点F,则:(1)BCDACE;(2)AFBACB证明(1)由已知可得所以ACEBCD(2)由(1)可得CAFCBF设AC与BD的交点为G,则AGFBGC,所以AFBACB例题讲解例1 如图1,在ABC中,BC4,以线段AB为边作ABD,使得ADBD,连结DC,再以DC为边作CDE,使得DCDE,CDEADB(1)如图2,当CDE45且90时,用等式表示线段AD,DE之间的数量关系;(2)将线段CB沿着射线CE的方向平移,得到线段EF,连结BF,AF若90,依题意补全图3,求线段AF的长;请直接写出线段AF的长(用含的式子表示) 解 (1)ADDE4(2)如图4,连结AE交BC于点G,设DE与BC的交点为H 由“等腰直角三角形共顶点”可得 ADEBDC(SAS) 所以AEBC,EGCEDC90 因为线段CB沿着射线CE的方向平移,得到线段EF 所以AEBCFE4,AEEF 所以AFEF AF8sin 如图5,连结AE交BC于点G 由“等腰直角三角形共顶点”可得FEBCAE AEFEGCEDC 过点E作EHAF于点H 则AEHAEF 所以AF2AH2AEsin8sin例2 如图1,在ABC中,D、E分别是AB、AC上的点,且DEBC,将ADE绕A点顺时旋转一定角度,连结BD,CE,得到图2,然后将BD,CE分别延长至M、N,使DMBD,ENCE,连结AM,AN,MN,得到图3(1)若ABAC,请探究下列数量关系;在图2中,BD与CE的数量关系是 ;在图3中,猜想AM与AN的数量关系,MAN与BAC的数量关系,丙证明你的猜想:(2)若AB AC(K1),按上述操作方法,得到图4,请继续探究:AM与AN的数量关系;MAN与BAC的数量关系 解 (1)BDCE AMAN,MANBAC 证明如下: 由“等腰三角形共顶点”可得CAEBAD(SAS) 所以CEBD,ACNABM 所以BMCN 从而ABMACN(SAS) 所以AMAN,BAMCAN 即MANBAC (2)AMk AN,MANBAC 证明如下: 由“相似三角形共顶点”可得CAEBAD, 所以,ACNABM 所以 从而ABMACN 所以AMk AN,BAMCAN 即MANBAC 进阶训练1 在平行四边形ABCD中,ADBC,过点D作DEDF,且EDFABD,连结EF,EC,N、P分别为EC,BC的中点,连接诶NP (1)如图1,若点E在DP上,EF与DC交于点M,试探索线段NP与MN的数量关系及ABD与MNP满足的等量关系;(2)如图2,若点M在线段EF上,当点M在何位置时,你在(1)中得到的结论仍然成立?写出你确定的点M的位置,并证明(1)中的结论解 (1)NPNM,ABDMNP180(2) M是线段EF的中点【提示】(1)证DPBC,DCEF,根据直角三角形斜边中线定理可得NPNMCE,ABDMNP2PDC2DCP180;或者连结BE,CF(如图),由“等腰三角形共顶点”可证得结论(2) 如图,连结BE,CF,取EF中点G 连结NG,由“等腰三角形共顶点”和中位线定理,即可得到点M与点G重合时(1)中结论仍成立2 如图1,在ABC中,ACB90,ACBC,EAC90,点M为射线AE上任意一点(不与点A重合),连结CM,将线段CM绕点C按顺时针方向旋转90得到线段CN,直线NB分别交直线CM、射线AE于点F、D 2如图1,在ABC中,ACB90,ACBC,EAC90,点M为射线AE上任意一点(不与A重合),连接CM,将线段CM绕点C按顺时针方向旋转90得到线段CN,直线NB分别交直线CM、射线AE于点F、D(1)直接写出NDE的度数;(2)如图2、图3,当EAC为锐角或钝角时,其他条件不变,(1)中的结论是否发生变化?如果不变,选取其中一种情况加以证明;如果变化,请说明理由;(3)如图4,若EAC15,ACM60,直线CM与AB交于G,BD ,其他条件不变,求线段AM的长解:(1)NDE90;(2)(1)中结论不变,证明略;(3) 【提示】(2)由“共顶点模型”可得ACMBCN,所以BNCAMC,从而得到MDNMCN90 (3)由题意可得,BAE30,AMGAGM 75,而又(1)可得NDE90,所以AB2BD 如图,过点G作GHBC于点H,则CHGHBH,从而AGBG,所以AGAG,解得AMAG3 如图,ABC与DEF都是等腰三角形,AB,EF的中点均为O,且顶角ACBEDF,直线BF,CD交于点G,连结AG现将图中DEF绕点O旋转,请你确定AG取最小值和最大值时点G的位置 答案:以BC为直径作H,直线交于点G1,G2,则G1为AG取最小值时点G的位置,G2为AG取最大值时点G的位置 【提示】 如图,连结CO,DO,构建两个相似的“直角三角形共顶点”,从而得到BGCBOC90,从而点G在以BC为直径的圆上
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