1 绝对值三角不等式 1 绝对值的几何意义 1 实数a的绝对值 a 表示数轴上坐标为a的点A到原点的距离 2 对于任意实数a b 设它们在数轴上的对应点分别为A B a b 表示数轴上A B两点之间的距离 即线段AB的长度 2 绝对值三角不等式 1 定理1 如果a b是实数 则 a b a b 当且仅当ab 0时 等号成立 2 定理2 如果a b c是实数 那么 a c a b b c 当且仅当 a b b c 0时 等号成立 名师点拨绝对值三角不等式的完整形式 a b a b a b 其中 1 a b a b 成立的条件是ab 0 且 a b 2 a b a b 成立的条件是ab 0 3 a b a b 成立的条件是ab 0 且 a b 4 a b a b 成立的条件是ab 0 做一做1若 lgab lga lgb 成立 则实数a b满足的条件可以是 A ab 1B 01解析 由已知得 lga lgb lga lgb 所以lga lgb 0 因此a 1 且b 1或0 a 1 且0 b 1 答案 C 3 绝对值三角不等式的几何意义 1 若a b是任意不共线的向量 则有 a b a b 其几何意义是 三角形的两边之和大于第三边 2 a c a b b c 的几何意义是 数轴上任意一点到两点的距离之和 不小于这两点的距离 做一做2若x y z是任意三个互不相等的实数 且a 则实数a的取值范围是 答案 1 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内画 错误的画 1 在 a b a b 中 等号成立的条件是a b同号 2 a b a b 成立的条件是ab 0 3 数轴上任意一点到两点的距离之和 大于这两点间的距离 4 形如 x a x b 的代数式只有最小值没有最大值 探究一 探究二 探究三 思维辨析 对绝对值三角不等式的理解 例1 若 a c a c D b 0 b b 因为 a c a c 所以 a c b 即选项C正确 这时 a b c 选项A正确 因为 c a a c 所以 c a b 所以 c b a 选项B正确 选项D无法判断 答案 D 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟判断绝对值不等式是否成立的技巧1 注意对影响不等号的因素进行分析 如一个数是正数 是负数还是零等 数 或式子 的积 平方 取倒数等也都对不等号产生影响 注意考察这些因素在不等式中的作用 2 如果对不等式不能直接判断 可以对不等式化简整理或变形后再利用绝对值不等式进行判断 3 注意不等式性质尤其是传递性的正确应用 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练1已知实数a b满足ab a b B a b a b C a b a b D a b a b 解析 因为ab 0 所以 a b a b a b a b 所以 a b a b 答案 B 探究一 探究二 探究三 思维辨析 利用绝对值三角不等式求最值 例2 求解下列各题 1 求函数f x x 4 x 2 的最大值和最小值 2 若函数f x x a x 1 的最小值等于5 求实数a的值 分析 1 利用绝对值三角不等式求解 注意等号成立的条件 2 先用a表示函数的最小值 再求得实数a的值 解 1 由绝对值三角不等式可得 x 4 x 2 x 4 x 2 即 x 4 x 2 6 所以 6 x 4 x 2 6 故函数f x 的最小值是 6 最大值是6 2 由绝对值三角不等式可得 x a x 1 x a x 1 即 x a x 1 1 a 所以函数f x x a x 1 的最小值为 1 a 于是 1 a 5 解得a 4或6 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟利用绝对值三角不等式求最值的技巧1 绝对值三角不等式反映了绝对值之间的关系 形如y x a x b 或y x a x b 型函数的最值 均可利用该不等式或其几何意义进行求解 2 一般地 函数y x a x b 有最小值 a b 无最大值 函数y x a x b 的最大值为 a b 最小值为 a b 3 求最值时 还应注意等号成立的条件 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练2 1 函数f x 2x 1 2x 4 的最小值等于 2 若 x 2 x 3 m恒成立 则实数m的取值范围是 解析 1 f x 2x 1 2x 4 2x 1 2x 4 5 所以函数的最小值为5 2 因为函数y x 2 x 3 的最小值为 1 所以实数m的取值范围是m 1 答案 1 5 2 m 1 探究一 探究二 探究三 思维辨析 利用绝对值三角不等式证明不等式 例3 已知 求证 A B C a b c s 分析 先将求证不等式左边进行变形 重新组合 与已知条件相对应 再利用绝对值三角不等式证明 证明 A B C a b c A a B b C c 反思感悟利用绝对值三角不等式证明的技巧1 含绝对值不等式的证明一般可通过平方法 换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明 或利用绝对值三角不等式 a b a b a b 通过适当的添 拆项证明 2 注意与不等式性质 证明不等式其他方法的结合 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练3已知 x a y b 求证 x 3y a 3b 4 证明 x 3y a 3b x a 3 y b x a 3 y b x a 3 y b 3 4 故原不等式成立 探究一 探究二 探究三 思维辨析 因题意理解不清致错典例若关于x的不等式 x 5 x 7 a的解集不是R 则实数a的取值范围是 错解依题意得a x 5 x 7 min 而 x 5 x 7 min 2 所以a 2 正解若关于x的不等式 x 5 x 7 a的解集是R 则该不等式恒成立 因此a x 5 x 7 min 而 x 5 x 7 min 2 所以a 2 故要使不等式的解集不是R 实数a的取值范围是a 2 答案 2 纠错心得由于对 解集不是R 的意义理解不清而导致错解 事实上 可以利用补集思想解决这个问题 即先求出当不等式解集为R时a的取值范围 再取其补集即可 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练若关于x的不等式 x 5 x 3 a有解 则实数a的取值范围是 解析 因为 x 5 x 3 的最大值等于8 所以当a 8时 不等式 x 5 x 3 a无解 从而当不等式有解时 实数a的取值范围是 8 答案 8 12345 1 若 a b a b 则必有 A ab 0B ab 0C ab 0D ab 0解析 因为 a b a b 又 a b a b 所以 a b a b 因此必有ab 0 答案 B 12345 2 函数f x x 2 x 2 的最小值为 A 4B 2C 0D 4解析 因为 x 2 x 2 x 2 x 2 4 所以函数f x 的最小值为4 答案 A 12345 3 若 x a h y a k 则下列不等式一定成立的是 A x y 2hB x y 2kC x y h kD x y h k 解析 x y x a a y x a a y h k 答案 C 12345 4 函数y 4x 1 4x 2 的值域为 解析 因为 4x 1 4x 2 4x 1 4x 2 3 所以 3 4x 1 4x 2 3 故函数y的值域为 3 3 答案 3 3