2 4等比数列 第1课时等比数列的概念及通项公式 一 二 三 提示 是等差数列 其余都不是等差数列 这些数列的共同特点是从第2项起 每一项与它的前一项的比都是同一个常数 2 填空 等比数列的定义一般地 如果一个数列从第2项起 每一项与它的前一项的比等于同一常数 那么这个数列叫做等比数列 这个常数叫做等比数列的公比 公比通常用字母q q 0 表示 3 对等比数列定义的理解 1 定义中强调 从第2项起 因为第1项没有前一项 2 每一项与它的前一项的比必须是同一个常数 因为同一个常数体现了等比数列的基本特征 3 公比q是每一项 从第2项起 与它的前一项的比 不要把分子与分母弄颠倒 4 等比数列中的任何一项均不能为零 5 等比数列的公比可以是正数 负数 但不能为零 一 二 三 二 等比中项 问题思考 1 能否在如下的两个数之间 插入一个数 使这三个数构成等比数列 1 2 8 2 10 10 3 9 1 提示 1 能 插入的数是4或 4 2 能 插入的数是10或 10 3 不能 2 填空 等比中项如果在a与b中间插入一个数G 使a G b成等比数列 那么G叫做a与b的等比中项 这三个数满足关系式ab G2 3 等比中项概念的理解 1 只有同号的两个实数才有等比中项 2 若两个实数有等比中项 则一定有两个 它们互为相反数 一 二 三 三 等比数列的通项公式 问题思考 1 给出等比数列 an 1 3 9 27 81 请根据下列两种思路探求其通项公式 1 根据等比数列的定义 an 的递推公式可以如何表示 利用累乘法能否求得 an 的通项公式 2 根据等比数列的定义 能否将 an 的各项都用首项和公比表示出来 由此归纳 an 的通项公式 3 做一做 已知等比数列 an 的首项a1 3 公比q 2 则an A 6B 3 2n 1C 2 3n 1D 3 2 n 1解析由等比数列的通项公式an a1qn 1 得an 3 2 n 1 答案D 判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内画 错误的画 1 如果一个数列的每一项与它的前一项的比是一个常数 那么这个数列是等比数列 2 任何两个实数都有等比中项 且其等比中项有两个 3 在等比数列中 除第1项和最后一项外 其余各项都是它前一项和后一项的等比中项 4 若数列 an 的通项公式是an cqn c q R c 0 q 0 则 an 一定是等比数列 5 常数列a a a a 一定是等比数列 答案 1 2 3 4 5 1 2 3 变式训练1在等比数列 an 中 a5 a1 15 a4 a2 6 求a3 1 2 3 例2 1 已知等比数列的前3项依次为x 2x 2 3x 3 求实数x的值 2 已知等比数列 an a2a3a4 64 a3 a6 36 求a1和a5的等比中项 思路分析 1 可由等比中项的定义建立关于x的方程求解 2 先求出a1和a5的值 再根据等比中项的定义求解 反思感悟1 任意两个实数都有等差中项 且等差中项是唯一的 但与等差中项不同 只有同号的两个数才有等比中项 且等比中项有两个 它们互为相反数 2 若a b c成等比数列 则必有b2 ac 反之 若b2 ac 则a b c不一定成等比数列 1 2 3