第2课时等差数列前n项和的性质与应用 一 二 2 做一做 1 已知某等差数列共有10项 其奇数项之和为15 偶数项之和为30 则其公差为 A 5B 4C 3D 2 2 在等差数列 an 中 其前n项和为Sn S2 4 S4 9 则S6 解析 1 设等差数列的公差为d 由题意 得S偶 S奇 30 15 5d 解得d 3 2 S2 S4 S2 S6 S4成等差数列 4 S6 9 2 5 解得S6 15 答案 1 C 2 15 一 二 二 等差数列前n项和的最值 问题思考 1 如何求等差数列前n项和的最值 2 做一做 1 在等差数列 an 中 an 21 3n 则当其前n项和Sn取最大值时 n的值等于 2 已知数列 an 的前n项和Sn n2 48n 则Sn的最小值为 解析 1 由已知 得当n0 a7 0 当n 7时 an 0 所以当Sn取最大值时 n的值为6或7 2 Sn n2 48n n 24 2 576 n N 当n 24时 Sn有最小值 576 答案 1 6或7 2 576 判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内画 错误的画 1 若等差数列 an 的前n项和为Sn 则S2n 1 2n 1 an 2 若等差数列 an 共有20项 则S奇S偶 a9a10 3 若等差数列 an 的前n项和为Sn 则S5 S10 S15也成等差数列 4 若无穷等差数列 an 的公差d 0 则其前n项和Sn不存在最大值 5 若数列 an 为等差数列 则数列 an 一定不是等差数列 答案 1 2 3 4 5 1 2 3 反思感悟利用等差数列前n项和的性质简化计算 1 在解决等差数列问题时 先利用已知求出a1 d 再求所求 是基本解法 有时运算量大些 2 如果利用等差数列前n项和的性质或利用等差数列通项公式的性质 那么可简化运算 为最优解法 3 设而不求 整体代换也是很好的解题方法 变式训练1 1 已知等差数列的前12项和为354 前12项中偶数项和与奇数项和之比为32 27 则公差d 2 在项数为2n 1的等差数列中 所有奇数项的和为165 所有偶数项的和为150 则n的值为 1 2 3 例2 在等差数列 an 中 Sn为前n项和 且a1 25 S17 S9 请问数列 an 前多少项和最大 思路分析解答本题可用多种方法 根据S17 S9找出a1与d的关系 转化为Sn的二次函数求最值 也可以先用通项公式找到通项的变号点 再求解 1 2 3 反思感悟已知等差数列 an 求 an 的前n项和的步骤1 确定通项公式an 2 根据通项公式确定数列 an 中项的符号 即判断数列 an 是先负后正 还是先正后负 3 去掉数列 an 中各项的绝对值 转化为 an 的前n项和求解 转化过程中有时需添加一部分项 以直接利用数列 an 的前n项和公式 4 将 an 的前n项和写成分段函数的形式 1 一个等差数列共有10项 其偶数项之和是15 奇数项之和是12 5 则它的首项与公差分别是 A 0 5 0 5B 0 5 1C 0 5 2D 1 0 5 2 已知Sn是等差数列 an 的前n项和 且Sn 20 S2n 80 则S3n A 130B 180C 210D 260解析因为Sn S2n Sn S3n S2n仍然构成等差数列 所以20 60 S3n 80成等差数列 所以2 60 20 S3n 80 解得S3n 180 答案B 4 在数列 an 中 a1 32 an 1 an 4 则当n 时 前n项和Sn取得最大值 最大值是 解析由an 1 an 4 得 an 为等差数列 且公差d an 1 an 4 故an 4n 36 令an 4n 36 0 得n 9 故当n 8或n 9时 Sn最大 且S8 S9 144 答案8或9144