三反证法与放缩法 1 反证法先假设要证的命题不成立 以此为出发点 结合已知条件 应用公理 定义 定理 性质等 进行正确的推理 得到和命题的条件 或已证明的定理 性质 明显成立的事实等 矛盾的结论 以说明假设不正确 从而证明原命题成立 我们把它称为反证法 做一做1用反证法证明命题 三角形的三个内角中至少有一个大于等于60 时 假设正确的是 A 三个内角都小于60 B 三个内角都大于60 C 三个内角中至多有一个大于60 D 三个内角中至多有两个大于60 解析 至少有一个 的否定是 一个都没有 则假设为 三个内角都小于60 答案 A 2 放缩法证明不等式时 通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小 简化不等式 从而达到证明的目的 我们把这种方法称为放缩法 名师点拨放缩法证明不等式的理论依据 1 不等式的传递性 2 等量加不等量为不等量 3 同分子 分母 异分母 分子 的两个分式大小的比较 做一做2若A 1 n N 则A与n的大小关系是 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内画 错误的画 1 用反证法证明命题 若p 则q 时 证明 q假 进而得q为真 2 若m n 0 则 3 命题 x y都是偶数 的否定是 x y都不是偶数 4 若 a 1 则 a b a b 2 探究一 探究二 思维辨析 探究一 探究二 思维辨析 反思感悟用反证法证明不等式 1 适用范围 凡涉及不等式为唯一性 否定性命题 存在性命题等可考虑反证法 如证明中含 至多 至少 不能 等词语的不等式 2 注意事项 在对原命题进行否定时 应全面 准确 不能漏掉任何情况 反证法体现了 正难则反 的策略 在解题时要灵活应用 探究一 探究二 变式训练1设a b c d都是小于1的正数 求证 4a 1 b 4b 1 c 4c 1 d 4d 1 a 这四个数不可能都大于1 思维辨析 探究一 探究二 利用放缩法证明不等式 思维辨析 探究一 探究二 思维辨析 探究一 探究二 思维辨析 反思感悟利用放缩法证明不等式 1 利用放缩法证明不等式 要根据不等式两端的特点及已知条件 条件不等式 审慎地采取措施 进行恰当的放缩 任何不适宜的放缩都会导致推证的失败 2 一定要熟悉放缩法的具体措施及操作方法 利用放缩法证明不等式 就是采取舍掉代数式中一些正项或负项 或者在分式中放大或缩小分子 分母 或者把和式中各项或某项换以较大或较小的数 从而达到证明不等式的目的 探究一 探究二 变式训练2设x 0 y 0 z 0 思维辨析 探究一 探究二 思维辨析 放缩不当导致不等式证明错误典例设a1 a2 a3 an均为正数 探究一 探究二 思维辨析 探究一 探究二 思维辨析 纠错心得利用放缩法证明不等式的关键是对待证不等式中的部分项进行扩大或缩小 并使扩大或缩小后的项能够结合数列或其他求和知识进行化简 从而证得不等式 如果放缩不当 无法对放缩后的式子化简 就会导致错误 本题的错误即在于此 探究一 探究二 思维辨析 变式训练设n N 12345 1 用反证法证明 如果a b 那么 的假设内容应是 答案 D 12345 A M NB M NC M ND 不确定 答案 B 12345 答案 A 2 12345 4 已知a b c R 且a b c均不相等 若a b c 0 求证ab bc ca 0 证明 假设命题不成立 即ab bc ca 0 则2ab 2bc 2ca 0 又a b c均不相等 所以a2 b2 c2 0 所以 a b c 2 0 这与a b c 0相矛盾 所以原命题成立