第二十二章二次函数 22 1二次函数的图像和性质 第8课时二次函数y ax2 bx c的图像和性质 三 课前预习 A 用待定系数法求二次函数的解析式的三种方法 1 已知任意三个点的坐标 可选择一般式 2 已知抛物线的顶点和另外一个点的坐标 可选择顶点式 3 已知抛物线与x轴的两个交点和另外一个点的坐标 可选择交点式 y ax2 bx c y a x h 2 k y a x x1 x x2 课前预习 1 已知二次函数y x2 x m的图象过点 3 2 则m的值为 2 某二次函数的图象的顶点坐标为 4 1 且它的形状 开口方向与抛物线y x2相同 则这个二次函数的解析式为 3 若二次函数y x2 bx c的图象经过点A 0 2 B 1 0 则b c 10 y x 4 2 1 3 2 课堂讲练 典型例题 知识点1 二次函数解析式y ax2 bx c的确定方法 例1 已知二次函数y ax2 bx c 当x 0时 y 1 当x 1时 y 6 当x 1时 y 0 求这个二次函数的解析式 解 根据题意 得c 1 a b c 6 a b c 0 解得a 2 b 3 c 1 所以二次函数的解析式为y 2x2 3x 1 课堂讲练 知识点2 二次函数解析式y a x h 2 k的确定方法 例2 已知二次函数图象过点 4 3 并且当x 3时y有最大值4 求这个二次函数的解析式 解 设二次函数的解析式为y a x 3 2 4 函数图象过点 4 3 3 a 4 3 2 4 解得a 7 该函数的解析式为y 7 x 3 2 4 课堂讲练 知识点3 二次函数解析式y a x x1 x x2 的确定方法 例3 已知抛物线过三点A 1 0 B 4 0 C 0 2 求抛物线的解析式与顶点D的坐标 课堂讲练 解 抛物线经过点A 1 0 B 4 0 设函数的解析式为y a x 1 x 4 又 抛物线经过点C 0 2 2 a 0 1 0 4 解得a 经过A B C三点的抛物线的解析式为y x 1 x 4 y x 1 x 4 顶点D 课堂讲练 1 已知二次函数y ax2 bx c的图象过A 2 0 B 0 1 和C 4 5 三点 求二次函数的解析式 举一反三 解 二次函数y ax2 bx c的图象过A 2 0 B 0 1 和C 4 5 三点 4a 2b c 0 c 1 16a 4b c 5 解得a b c 1 二次函数的解析式为y x2 x 1 课堂讲练 2 已知二次函数的图象以点A 1 4 为顶点 且过点B 2 5 求该函数的关系式 解 由顶点A 1 4 可设二次函数的关系式为y a x 1 2 4 二次函数的图象过点B 2 5 5 a 2 1 2 4 解得a 1 二次函数的关系式是y x 1 2 4 课堂讲练 3 一个二次函数的图象在平面直角坐标系中的位置如图22 1 9所示 已知图象与x轴分别交于点 1 0 3 0 与y轴交于点 0 3 求这个二次函数的表达式 解 根据图象可知抛物线与x轴交于点 1 0 和 3 0 则可设二次函数的解析式为y a x 1 x 3 将点 0 3 代入 得 3a 3 解得a 1 二次函数的解析式为y x 1 x 3 x2 2x 3 分层训练 A组 1 已知抛物线y ax2经过点 1 5 则其解析式为 2 抛物线y ax2 c经过A 0 3 B 2 0 两点 则抛物线的函数解析式为 3 抛物线的顶点在坐标原点 并且经过点 1 1 则抛物线的函数解析式为 y 5x2 y x2 y x2 3 分层训练 4 某抛物线的顶点坐标为 2 1 开口方向 形状与抛物线y 3x2相同 则此抛物线的解析式是 5 如图22 1 10 经过点C 0 4 的抛物线y ax2 bx c a 0 与x轴相交于A 2 0 B两点 若该抛物线关于直线x 2对称 求抛物线的函数表达式 y 3 x 2 2 1 分层训练 解 直线x 2是对称轴 A 2 0 B 6 0 点C 0 4 将A B C的坐标分别代入y ax2 bx c 解得a b c 4 抛物线的函数表达式为y x2 x 4 分层训练 6 抛物线的图象如图22 1 11 求这条抛物线的解析式 解 由图象可知抛物线的顶点坐标为 1 4 设该抛物线的解析式为y a x 1 2 4 把点 3 0 代入解析式 得0 4a 4 解得a 1 所以该抛物线的解析式为y x 1 2 4 分层训练 B组 7 抛物线过点 0 1 2 0 3 0 若用交点式求其解析式 则可设为 8 已知抛物线经过点A 2 4 O 0 0 B 2 0 三点 求抛物线的解析式 y a x 2 x 3 分层训练 解 设抛物线的解析式为y a x 0 x 2 将A 2 4 代入 得a 2 0 2 2 4 解得a 抛物线的解析式为y x 0 x 2 即y x x 2 分层训练 9 已知抛物线y ax2 bx c a 0 上部分点的横坐标x 纵坐标y的对应值如下表 1 求这个二次函数的解析式及顶点坐标 2 直接写出当y 0时 x的取值范围 分层训练 解 1 由表 得抛物线y ax2 bx c过点 0 6 c 6 抛物线y ax2 bx 6过点 1 4 和 1 6 二次函数的解析式为y x2 x 6 抛物线y ax2 bx c过点 0 6 和 1 6 抛物线的对称轴为直线x 当x 时 y 抛物线的顶点坐标为 2 当y 0时 x的取值范围是x 2或x 3 分层训练 C组 10 已知在矩形ABCD中 AB 2 AD 4 以AB的垂直平分线为x轴 AB所在的直线为y轴 建立平面直角坐标系 如图22 1 12 1 写出A B C D及AD的中点E的坐标 2 求以E为顶点 对称轴平行于y轴 并且经过点B C的抛物线的解析式