导数及其应用 真题体验 1 2012 广东 12 曲线y x3 x 3在点 1 3 处的切线方程为 解析利用导数的几何意义求切线方程 y 3x2 1 y x 1 3 12 1 2 该切线方程为y 3 2 x 1 即2x y 1 0 答案2x y 1 0 2 2012 南京 盐城模拟 9 函数f x x2 x 1 ex x R 的单调减区间为 解析f x 2x 1 ex x2 x 1 ex x2 3x 2 ex 0 解得 2 x 1 故函数f x 的减区间为 2 1 答案 2 1 或闭区间 3 2012 大纲全国理 10改编 已知函数y x3 3x c的图象与x轴恰有两个公共点 则c的值为 解析利用导数求解 y 3x2 3 y 0时 x 1 则x y y的变化情况如下表 4 2011 广东 函数f x x3 3x2 1在x 处取得极小值 解析由题意得f x 3x2 6x 3x x 2 当x 0时 f x 0 当0 x 2时 f x 0 当x 2时 f x 0 故当x 2时取得极小值 答案2 5 2011 福建文 10改编 若a 0 b 0 且函数f x 4x3 ax2 2bx 2在x 1处有极值 则ab的最大值等于 高考定位 高考对本内容的考查主要有 1 导数的几何意义是考查热点 要求是B级 理解导数的几何意义是曲线上在某点处的切线的斜率 能够解决与曲线的切线有关的问题 2 导数的运算是导数应用的基础 要求是B级 熟练掌握导数的四则运算法则 常用导数公式及复合函数的导数运算 一般不单独设置试题 是解决导数应用的第一步 3 利用导数研究函数的单调性与极值是导数的核心内容 要求是B级 对应用导数研究函数的单调性与极值要达到相等的高度 4 导数在实际问题中的应用为函数应用题注入了新鲜的血液 使应用题涉及到的函数模型更加宽广 要求是B级 应对策略 高考对本讲在考查形式上不会有大的变化 即填空题 解答题都会考查 填空题一般难度不大 属于高考题中的中低档题 解答题有一定难度 一般与函数及不等式结合 属于高考的中高档题 导数还经常作为高考的压轴题 能力要求非常高 它不仅要求考生牢固掌握基础知识 基本技能 还要求考生具有较强的分析能力和计算能力 估计以后对导数的考查力度不会减弱 作为导数综合题 主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题 利用导数证明不等式等 常伴随对参数的讨论 这也是难点之所在 必 备 知 识 方 法 必备知识1 导数的几何意义函数f x 在点x0处的导数f x0 的几何意义是曲线在点P x0 f x0 处的切线的斜率 2 利用导数判断函数的单调性设函数f x 在区间 a b 内可导 且f x 在 a b 任意子区间内都恒不等于0 则f x 0 f x 为增函数 f x 0 f x 为减函数 3 利用导数求函数的极值与最值 1 求函数极值的步骤是 求导数f x 求方程f x 0的根 检验f x 在方程根左 右侧的符号 如果左正右负 那么f x 在这个根处取极大值 如果左负右正 那么f x 在这个根处取极小值 2 求函数在 a b 上的最值步骤是 求函数f x 在 a b 内的极值 求f x 在区间端点的函数值f a f b 将函数f x 的各极值与f a f b 比较 其中最大的一个为最大值 最小的一个为最小值 特别地 极值唯一时 极值就是最值 必备方法1 函数单调性的应用 1 若可导函数f x 在 a b 上单调递增 则f x 0在区间 a b 上恒成立 2 若可导函数f x 在 a b 上单调递减 则f x 0在区间 a b 上恒成立 3 可导函数f x 在区间 a b 上为增函数是f x 0的必要不充分条件 2 可导函数极值的理解 1 函数在定义域上的极大值与极小值的大小关系不确定 也有可能极小值大于极大值 2 对于可导函数f x f x 在x x0处的导数f x 0 是 f x 在x x0处取得极值 的必要不充分条件 3 注意导函数的图象与原函数图象的关系 导函数由正变负的零点是原函数的极大值点 导函数由负变正的零点是原函数的极小值点 热 点 命 题 角 度 命题角度一导数的几何意义 命题要点 求切线的倾斜角 斜率 求切线方程 已知切线方程 确定字母参数的取值 函数在某点处的切线斜率等于在该点的导数值 求导之后要注意代入的是切点横坐标 如果没有切点坐标 一般要设出切点坐标 再利用导数的几何意义求切线方程 突破训练1 2012 南通期末调研 曲线C y xlnx在点M e e 处的切线方程为 命题角度二导数与函数单调性 命题要点 已知函数 求单调区间 已知单调区间 求字母参数的取值范围 对于利用导数解法含有参数的单调问题时 一般是将问题转化为不等式恒成立问题 要注意分类讨论和数形结合思想的运用 命题角度三导数与函数极值 最值 命题要点 已知函数 求极值或最值 已知极值或最值 求字母参数的取值范围 导数法是求函数值域的重要方法 对于比较复杂的函数值域 一般应用导数研究函数的单调性 极值情况 同时要注意函数的定义域 零点情况 突破训练3 2012 扬州质量检测 10 已知函数f x 的导函数f x a x 1 x a 若f x 在x a处取到极大值 则a的取值范围是 解析根据函数极大值与导函数的关系 借助二次函数图象求解 因为f x 在x a处取到极大值 所以x a为f x 的一个零点 且在x a的左边f x 0 右边f x 0 所以导函数f x 的开口向下 且a 1 即a的取值范围是 1 0 答案 1 0 命题角度四导数的综合应用 命题要点 应用导数研究函数单调性 极值 最值等 将导数内部的知识进行综合 将函数 方程与不等式等知识板块之间进行综合 导数作为解决函数问题的有力工具 越来越受到重视 应用导数可以求函数单调区间 函数极值与最值 解决步骤一般是先求定义域 再求导 再解不等式或方程 列表得出结论 很多情况还需要二次求导 解决不等式恒成立的一种重要方法是分离参数 但通过分离参数后所得的函数比较复杂时 则无法求函数最值或值域 这时就要从函数的角度分情况研究 突破训练4 2012 南通期末调研 已知f x x4 4x3 3 m x2 12x 12 m R 1 若f 1 0 求m的值 并求f x 的单调区间 2 若对于任意实数x f x 0恒成立 求m的取值范围 解 1 由f x 4x3 12x2 2 3 m x 12 得f 1 4 12 2 3 m 12 0 解得m 7 所以f x 4x3 12x2 20 x 12 4 x 1 x2 2x 3 方程x2 2x 3 0的判别式 22 3 4 8 0 所以x2 2x 3 0恒成立 所以令f x 0 解得x 1 列表如下 由此可得f x 的单调减区间是 1 f x 的单调增区间是 1 2 f x x4 4x3 3 m x2 12x 12 x2 3 x 2 2 m 4 x2 当m 4时 f 2 4 m 4 0 不合题意 当m 4时 f x x2 3 x 2 2 m 4 x2 0 对一切实数x恒成立 所以 m的取值范围是 4 命题角度五导数在实际问题中的应用 命题要点 试题模式固定化 先建立函数模型 再应用导数研究函数模型中的最值问题 例5 2011江苏 请你设计一个包装盒 如图所示 ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片 切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形 再沿虚线折起 使得ABCD四个点重合于图中的点P 正好形成一个正四棱柱形状的包装盒 E F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点 设AE FB x cm 1 若广告商要求包装盒的侧面积S cm2 最大 试问x应取何值 2 若广告商要求包装盒的容积V cm3 最大 试问x应取何值 并求出此时包装盒的高与底面边长的比值 这类问题主要考查数学建模能力 空间想象能力 数学阅读能力及解决实际问题的能力 解题过程大致分两步 第一 将实际问题转化为数学模型 第二 利用对应的工具 方法解决这一模型 突破训练5 2012 徐州质检 现有一张长为80cm 宽为60cm的长方形铁皮ABCD 准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒 要求材料利用率为100 不考虑焊接处损失 如图 若长方形ABCD的一个角剪下一块正方形铁皮 作为铁皮盒的底面 用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面 设长方体的底面边长为x cm 高为y cm 体积为V cm3 1 求出x与y的关系式 2 求该铁皮盒体积V的最大值 阅 卷 老 师 叮 咛 老师叮咛 将 在某点处的切线 与 过某点的切线 混淆 在某点处的切线 则该点一定是切点 而 过某点的切线 问题 该点则不一定是切点 这时需要设出切点坐标 本题如果不注意 就容易漏解 出现如下错误解法 y x2 切线斜率k 4 曲线在点 2 4 处的切线方程为y 4 4 x 2 即4x y 4 0 老师叮咛 非常数函数y f x 在区间D上递增的充要条件要理解全面 如函数y x3在R上递增 但x 0时 y 0 所以充要条件应为y 0 很容易遗漏等号出现如下的错误解法 由题意可知当x 1时 f x 0恒成立 即3x2 a 0 则a 3x2 3 恒成立 故当f x 在区间 1 是增函数时 a 3 这是一种很常见的错误 一定要注意