双曲线及其标准方程 问题1 椭圆的定义是什么 平面内与两个定点 F1F2 的距离的和等于常数 大于 F1F2 的点的轨迹叫做椭圆 问题2 椭圆的标准方程是怎样的 关系如何 问题3 如果把椭圆定义中 距离的和 改为 距离的差 那么动点的轨迹会发生怎样的变化 复习引入 平面内与两个定点F1 F2的距离的差的绝对值等于常数2a 小于 F1F2 且大于0 的点的轨迹叫做双曲线 这两个定点叫做双曲线的焦点 记作F1 F2 两焦点间的距离叫做双曲线的焦距 通常情况下 我们把 F1F2 记为2c c 0 常数记为2a a 0 问题1 定义中为什么强调距离差的绝对值为常数 一 双曲线的定义 问题2 定义中为什么强调常数要小于 F1F2 且大于0 即0 2a 2c 如果不对常数加以限制 动点的轨迹会是什么 若2a 2c 则轨迹是什么 若2a 2c 则轨迹是什么 若2a 0 则轨迹是什么 此时轨迹为以F1或F2为端点的两条射线 此时轨迹不存在 此时轨迹为线段F1F2的垂直平分线 F1 F2 F1 F2 分3种情况来看 二 双曲线标准方程的推导 建系 使轴经过两焦点 轴为线段的垂直平分线 设点 设是双曲线上任一点 焦距为 那么焦点又设 MF1 与 MF2 的差的绝对值等于常数 列式 即 将上述方程化为 移项两边平方后整理得 两边再平方后整理得 由双曲线定义知 即 设 代入上式整理得 两边同时除以得 化简 这个方程叫做双曲线的标准方程 它所表示的双曲线的焦点在x轴上 焦点是F1 c 0 F2 c 0 其中c2 a2 b2 类比椭圆的标准方程 请思考焦点在y轴上的双曲线的标准方程是什么 其中c2 a2 b2 这个方程叫做双曲线的标准方程 它所表示的双曲线的焦点在y轴上 焦点是F1 0 c F2 0 c 三 双曲线两种标准方程的比较 方程用 号连接 分母是但大小不定 如果的系数是正的 则焦点在轴上 如果的系数是正的 则焦点在轴上 F c 0 F c 0 a 0 b 0 但a不一定大于b c2 a2 b2 a b 0 a2 b2 c2 四 双曲线与椭圆之间的区别与联系 MF1 MF2 2a MF1 MF2 2a F 0 c F 0 c 练一练 判断下列方程是否表示双曲线 若是 求出及焦点坐标 答案 题后反思 先把非标准方程化成标准方程 再判断焦点所在的坐标轴 例题 解 因为双曲线的焦点在x轴上 所以设它的标准方程为 因此 双曲线的标准方程为 题后反思 求标准方程要做到先定型 后定量 两条射线 轨迹不存在 例1 已知双曲线的焦点F1 5 0 F2 5 0 双曲线上一点P到焦点的距离差的绝对值等于8 求双曲线的标准方程 1 若 PF1 PF2 8呢 2 若 PF1 PF2 10呢 3 若 PF1 PF2 12呢 所以2c 10 2a 8 即a 4 c 5 那么b2 c2 a2 25 16 9 根据已知条件 F1F2 10 PF1 PF2 8 练一练 求适合下列条件的双曲线的标准方程 焦点在在轴上 焦点在在轴上 经过点 答案 令 则 解得 故所求双曲线的标准方程为 归纳小结 双曲线的定义 双曲线的标准方程 应用 类比数学思想 布置作业 50页练习A组1 2 55页习题2 2A组1 2题