抛物线及其标准方程 O y x F M l 复习提问 1 当0 e 1时 点M的轨迹是什么 2 当e 1时 点M的轨迹是什么 是椭圆 是双曲线 m F 思考 平面内与一个定点F和一条定直线l l不经过点F 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 一 抛物线定义 想一想 定义中当直线l经过定点F 则点M的轨迹是什么 其中定点F叫做抛物线的焦点定直线l叫做抛物线的准线 即 当 MF MH 时 点M的轨迹是抛物线 经过点F且垂直于l的直线 焦点到准线的距离 定长p 叫做抛物线的焦参数 感受生活中抛物线图形的例子 阳春三桥 春湾镇那乌古桥 如何求点M的轨迹方程 求曲线方程的基本步骤是怎样的 想一想 回顾求曲线方程一般步骤 1 建系 设点 2 写出适合条件P的点M的集合 3 列方程 4 化简 5 证明 可省略 如图 设定点F到定直线l的距离为p p 0 如何建立坐标系 求出点M的轨迹方程最简洁 2 由 MF MH 得即得y2 2px 设M x y 把方程y2 2px p 0 叫做抛物线的标准方程 而p的几何意义是 焦点到准线的距离 一条抛物线 由于它在坐标平面内的位置不同 方程也不同 所以抛物线的标准方程还有其它形式 二 标准方程 四种抛物线的标准方程对比 感悟归结 1 焦点在一次项字母对应的坐标轴上 2 一次项的系数的符号决定了抛物线的开口方向 3 焦点坐标的非零坐标是一次项系数的 4 准线方程对应的数是一次项系数的的相反数 例1已知抛物线的标准方程是y2 6x 求它的焦点坐标和准线方程 解 2P 6 P 3所以抛物线的焦点坐标是 0 准线方程是x 变式 写出下列抛物线的标准方程 焦点坐标和准线方程 1 6y 5x2 0 2 y 6ax2 a 0 2 x2 y 焦点坐标为 0 准线方程是y 解 1 x2 y 焦点坐标为 0 准线方程是y 变式 写出下列抛物线的标准方程 焦点坐标和准线方程 1 6y 5x2 0 2 y 6ax2 a 0 感悟 求抛线的焦点坐标和准线方程要先化成抛物线的标准方程 例2已知抛物线的焦点坐标是F 0 2 求它的标准方程 解 因为焦点在y的负半轴上 所以设所求的标准方程为x2 2py由题意得 即p 4 所求的标准方程为x2 8y 分析 因为焦点坐标是 0 2 所以抛物线开口方向是y轴的负方向 它的方程形式为x2 2py 待定系数法求抛物线标准方程 例2已知抛物线的焦点坐标是F 0 2 求它的标准方程 解 因为焦点在y的负半轴上 所以设所求的标准方程为x2 2py即得p 4 所求的标准方程为x2 8y 分析 因为焦点坐标是 0 2 所以抛物线开口方向是y轴的负方向 它的方程形式为x2 2py 1 焦点是F 2 0 它的标准方程 2 准线方程是y 2 它的标准方程 3 焦点到准线的距离是4 它的标准方程 变式 y2 8x x2 8y x2 8y y2 8x 1 2 解题感悟 用待定系数法求抛物线标准方程的步骤 1 确定抛物线的形式 2 求p值 3 写抛物线方程 注意 焦点或开口方向不定 则要注意分类讨论 求过点A 3 2 的抛物线的标准方程 解 1 当抛物线的焦点在y轴的正半轴上时 把A 3 2 代入x2 2py 得p 2 当焦点在x轴的负半轴上时 把A 3 2 代入y2 2px 得p 抛物线的标准方程为x2 y或y2 x 巩固提高 1 理解抛物线的定义 标准方程类型 2 会求不同类型抛物线的焦点坐标 准线方程 3 掌握用待定系数法求抛物线标准方程 4 注重数形结合和分类讨论的解题方法 小结