反证法 活动探究 任意13个同学中必有同一个月生日的同学 假设13个同学中没有同一个月生日的同学 所以任意13个同学中必有同一个月生日的同学 与事实 一年只有12个月 矛盾 证明 则13个同学生日的月份就应该有13个月 道旁李苦 王戎是魏晋时期的人 竹林七贤之一 有一天和小朋友出去玩 突然看到路边的一颗李树果实累累 于是小伙伴们一哄而上 唯有王戎不动 有人问他 你为什么不去摘李子呢 王戎说 树在道路旁而多子 此李必苦 假设李子是甜的 长在路边早被人采光了 与实际这棵树果实累累矛盾 所以李子是苦的 生活中是否有应用这种思想方法解决问题的例子呢 举例并说明 反证法 假设原命题结论不成立 经过正确的推理 最后得出矛盾 因此说明假设错误 从而证明了原命题成立 即结论的反面成立 反设 归谬 结论 例1 已知直线 b和平面 如果 b 且 b 求证 这与 c矛盾 所以 合作探究 证明 假设直线 与平面 有公共点 所以假设错误 设 在平面 内 过A作 求证是无理数 假设不是无理数 即是有理数 于是存在互质的正整数m n 使得 从而就有 所以m2 2n2 所以m为偶数 于是可设m 2k k是正整数 从而有4k2 2n2 即n2 2k2 所以n也为偶数 这与假设 m n互质 矛盾 所以假设错误 从而是无理数 例2 合作探究 证明 无理数的发现 第一次数学危机 希帕索斯在求正方形的对角线时 当边长为1时 对角线的长度 不能用有理数 整数或整数之比 去表示 导致了当时认识上的危机 从而产生了第一次数学危机 后来欧多克斯和狄德金于1872年给出的无理数的解释与现代解释基本一致 1 1 概念理解 反设 正确写出命题的否定 常用词语的否定 不等于 不是 不都是 一个没有 至少2个 概念理解 与已知条件矛盾 在命题条件下 矛盾的可能有 归谬 从假设出发 导出矛盾 与假设矛盾 与定义 定理 事实矛盾等 对等式或不等式进行恰当变形 结合已知定理 结论 事实等进行推理 练习 已知 b c 0 b bc c 0 bc 0 假设 b c至少有一个 0 不妨设c 0 证明 因为 bc 0 所以c 0 b 0 因为 b bc c 0 所以bc c b c 0 所以假设错误 原结论成立 求证 b c 0 所以b 0 所以 b c 0 与条件矛盾