2 2直接证明与间接证明 演绎推理是证明数学结论 建立数学体系的重要思维过程 数学结论 证明思路的发现 主要靠合情推理 复习 直接证明是从命题的条件或结论出发 根据已知的定义 公理 定理 直接推证结论的真实性 常用的直接证明有综合法与分析法 例1求证 利用已知条件和某些数学定义 公理 定理等 经过一系列的推理论证 最后推导出所要证明的结论成立 这种证明方法叫做综合法 用P表示已知条件 已有的定义 公理 定理等 Q表示所要证明的结论 则综合法用框图表示为 综合法的特点 由因导果 练习 已知为不全相等的正数 求证 例2求证 一般地 从要证明的结论出发 逐步寻求推证过程中 使每一步结论成立的充分条件 直至最后 把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件 已知条件 定理 定义 公理等 为止 这种证明的方法叫做分析法 特点 执果索因 用框图表示分析法的思考过程 特点 练习求证 当一个圆和一个正方形的周长相等时 圆的面积比正方形的面积大 例4求证 不是有理数 反证法 假设命题结论的反面成立 经过正确的推理 引出矛盾 因此说明假设错误 从而证明原命题成立 这样的的证明方法叫反证法 反证法的思维方法 正难则反 反证法的基本步骤 1 假设命题结论不成立 即假设结论的反面成 立 2 从这个假设出发 经过推理论证 得出矛盾 3 从矛盾判定假设不正确 从而肯定命题的结 论正确 矛盾 1 与已知条件矛盾 2 与已有公理 定理 定义矛盾 3 自相矛盾 应用反证法的情形 1 直接证明困难 2 需分成很多类进行讨论 3 结论为 至少 至多 有无穷多个 之类命题 4 结论为 唯一 类命题