函数的奇偶性与周期性 1 函数的奇偶性的定义 1 对于函数f x 的定义域内任意一个x 都有 或 则称f x 为 奇函 数的图像关于 对称 原点 2 a 的定义域内任意一个x 都有 f x f x f x f x 0 奇函数 f x f x 或 则称f x 为 偶 函数的图像关于 轴对称 y 3 通常采用图像或定义判断函数的奇偶性 具有奇偶性的函数 其定义域关于原点对称 也就是说 函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称 2 函数的周期性的定义 非零常数 f x T f x 对于函数f x 如果存在一个 T 使得定义域内的每一个x值 都满足 那么函数f x 就叫做 非零常数T叫做这个函数的 f x f x 0 偶函数 周期函数 周期 C x3 x2 2 下列说法错误的是 B f x x 2 是偶函数C f x 0 x 6 6 既是奇函数 又是偶函数 D f x x 1 既不是奇函数 又不是偶函数 B 3 已知函数y f x 是偶函数 y f x 2 在 0 2 上 是单调减函数 则 A f 0 f 1 f 2 C f 1 f 2 f 0 B f 1 f 0 f 2 D f 2 f 1 f 0 解析 f x 2 在 0 2 上单调递减 f x 在 2 0 上单调递减 y f x 是偶函数 f x 在 0 2 上单调递增 又f 1 f 1 故选A 4 设函数f x x2 1 x a 为奇函数 则a A 0 5 设f x 是 上的奇函数 f x 2 f x 当0 x 1时 f x x 则f 7 5 解析 由f x 2 f x 得f x 4 f x 故f x 是以4为周期的函数 故f 7 5 f 0 5 8 f 0 5 又f x 是 上的奇函数 且当0 x 1时 f x x 所以f 7 5 f 0 5 f 0 5 0 5 0 5 考点1 判断函数的奇偶性 例1 判断下列函数的奇偶性 1 f x x 1 x 1 解题思路 依照定义判断函数的奇偶性 要先考查函数的定义域 解析 1 函数的定义域x 对称于原点 1 函数的奇偶性是函数的一个整体性质 定义域具有对称性 即若奇函数或偶函数的定义域为D 则x D时 x D 是一个函数为奇函数或偶函数的必要条件 2 分段函数的奇偶性一般要分段证明 3 判断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式 1 下列函数中 在其定义域内是奇函数的是 A y ex B y C y x3 D y cosx 互动探究 C 考点2 利用函数的奇偶性求函数的表达式 利用函数的奇偶性可以求关于原点对称区 间上的函数的表达式 2 1 已知f x 是定义在R上的奇函数 当x 0时 f x x x2 则x 0时 f x 2 已知函数f x 是定义在 上的偶函数 当x 0 时 f x x x4 则当x 0 时 f x 互动探究 x2 x x x4 考点3 函数奇偶性与单调性的综合应用 例3 已知奇函数f x 是定义在 2 2 上的减函数 若f m 1 f 2m 1 0 求实数m的取值范围 解题思路 欲求m的取值范围 就要建立关于m的不等式 只有从f m 1 f 2m 1 0出发 利用f x 的奇偶性和单调性将外衣 f 脱去 转化为关于m的不等式 解析 f x 是定义在 2 2 上的奇函数 对任意x 2 2 有f x f x 由条件f m 1 f 2m 1 0得 A a b cC c b a B b a cD c a b 解析 已知f x 是周期为2的奇函数 当0 x 1时 b f x lgx 设a c a b lgx 设a D 错源 没有考虑定义域 误解分析 对函数奇偶性定义实质理解不全面 对定义域内任意一个x 都有f x f x f x f x 的实质是 函数的定义域关于原点对称 这是函数具备奇偶性的必要条件 纠错反思 在处理函数的问题时 都要树立定义域优先的意识 例5 已知函数f x 当x 0时 f x x2 2x 1 1 若f x 为R上的奇函数 求f x 的解析式 2 若f x 为R上的偶函数 能确定f x 的解析式吗 请说明理由 解析 1 当x 0时 f x x2 2x 1 设x0 有f x x 2 2 x 1 x2 2x 1 f x 为R上的奇函数 f x f x x 0时 f x x2 2x 1 当x 0时 f 0 f 0 f 0 f 0 0 2 若f x 为R上的偶函数 不能确定f x 的解析式 因为不知f 0 的结果 互动探究 5 设f x 是R上的任意函数 则下列叙述正确的是 A f x f x 是奇函数B f x f x 是奇函数C f x f x 是偶函数D f x f x 是偶函数 D 对于函数f x 定义域中的任意的x 总存在一个常数T T 0 使得f x T f x 恒成立 则T是函数y f x 的一个周期 1 若函数y f x 满足f x a f x a a 0 则T 2a是它的一个周期 2 若函数y f x 满足f x a f x a 0 则T 2a是它的一个周期 1f x a 0 则T 3 若函数y f x 满足f x a 2a是它的一个周期 1f x a 0 则T 2a 4 若函数y f x 满足f x a 是它的一个周期 5 若函数y f x 满足f x a 1 f x 1 f x a 0 则T 2a是它的一个周期 6 若函数y f x x R 的图像关于直线x a与x b对称 则T 2 b a 是它的一个周期 7 若函数y f x x R 的图像关于点 a 0 与x b对称 则T 4 b a 是它的一个周期