书山有路2020江苏高考数学模拟考试数学 一 填空题 本大题共14小题 每小题5分 共计70分 请把答案填写在答 题 卡 相 应 的 位 置 上 3 1 若函数y cos x 0 的最小正周期是 则 如果平面 与平面 相交 那么平面 内所有的直线都与平面 相交如果平面 平面 那么平面 内所有直线都垂直于平面 如果平面 平面 那么平面 内与它们的交线不垂直的直线与平面 也不垂直如果平面 不垂直于平面 那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 真 命 题 的序号是 写出所有真命题的序号 x2y2 a2b2 7 已知双曲线 1 a 0 b 0 的焦点到一条渐近线的距离等于实轴长 那么该双曲线的离 心率为 ac 8 已知二次函数f x ax2 4x c 1的值域是 1 则1 9的最小值是 9 设函数f x x3 3x 2 若不等式f 3 2sin m2 3m对任意 R恒成立 则实数m的取值范围为 2x y 4 y 0 m 1 10 若动点P m n 在不等式组 x 0表示的平面区域内部及其边界上运动 则t n m的取 值范围是 2 11 在 ABC中 AB边上的中线CO 2 若动点P满足AP 1sin2 AB cos2 AC R 则 PA PB PC的最小值是 12 设D是函数y f x 定义域内的一个区间 若存在x0 D 使f x0 x0 则称x0是f x 的 2 一个 次不动点 也称f x 在区间D上存在次不动点 若函数f x ax2 3x a 5在区间 2 若复数 1 2i 1 ai 是纯虚数 则实数a的值是 3 已知平面向量a 1 1 b x 2 1 且a b 则实数x 4 一个袋中有3个大小质地都相同的小球 其中红球1个 白球2个 现从袋中有 放 回 地取球 每开始 结束 S S 1 k k 1 k k 1 S 0 是 k 2011否 输出S k 1 1 第5题 书山有路 A B D1 C1 B1 A1 1 4 上存在次不动点 则实数a的取值范围是 ij32 13 将所有的奇数排列如右表 其中第i行第j个数表示为a 例如a 9 若 aij 445 则i j 14 若实数a b c成等差数列 点P 1 0 在动直线ax by c 0上的射影 为M 点N 3 3 则线段MN长度的最大值是 二 解答题 本大题共6小题 共计90分 请在答 题 卡 指 定 区 域 内作答 解答时应写出文字说明 证明或演算步骤 15 本小题满分14分 已知 ABC中 A B C的对边分别为a b c 且2acosB ccosB bcosC 求角B的大小 设向量m cosA cos2A n 12 5 求当m n取最大值时 tan A 的值 416 本小题满分14分 如图 直四棱柱ABCD A1B1C1D1中 底面ABCD是直角梯形 BAD ADC 90 AB 2AD CD AD 求证 B1CB是二面角B1 AC B的平面角 在A1B1上是否存一点P 使得DP与平面BCB1与平面ACB1都平行 证明你的结论 DC17 本小题满分14分 某货轮匀速行驶在相距300海里的甲 乙两地间 运输成本由燃料费用和其它费用组成 已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比 比例系数为0 5 其它费用为每小时m元 根据市场调研 得知m的波动区间是 1000 1600 且该货轮的最大航行速度为50海里 小时 请将从甲地到乙地的运输成本y 元 表示为航行速度x 海里 小时 的函数 要使从甲地到乙地的运输成本最少 该货轮应以多大的航行速度行驶 18 本小题满分16分 2 2 已知中心在原点O 焦点在x轴上的椭圆C过点M 2 1 离心率为3 如图 平行于OM的 直线l交椭圆C于不同的两点A B 1 当直线l经过椭圆C的左焦点时 求直线l的方程 1357911 第12题 书山有路 2 证明 直线MA MB与x轴总围成等腰三角形 19 本小题满分16分 已知函数f x 1ax2 2a 1 x 2lnx 其中常数a 0 2求f x 的单调区间 如果函数f x H x g x 在公共定义域D上 满足f x H x g x 那么就称H x 2 为f x 与g x 的 和谐函数 设g x x2 4x 求证 当2 a 5时 在区间 0 2 上 函数f x 与g x 的 和谐函数 有无穷多个 20 本小题满分16分 已知无穷数列 an 的各项均为正整数 Sn为数列 an 的前n项和 n 3 n n3 1 若数列 a 是等差数列 且对任意正整数n都有S S n 成立 求数列 a 的通项公式 2 对任意正整数n 从集合 a1 a2 an 中不重复地任取若干个数 这些数之间经过加减运算后所得数的绝对值为互不相同的正整数 且这些正整数与a1 a2 an一起恰好是1至Sn全体正整数组成的集合 i 求a1 a2的值 ii 求数列 an 的通项公式 数学 附加题 21 选做题 在A B C D四小题中只 能 选 做 两 题 每小题10分 共计20分 请在答 题 卡 指 定 区 域 内作答 解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤 A 选修4 1 几何证明选讲如图 设AB为 O的任一条不与直线l垂直的直径 P是 O与l的公共点 AC l BD l 垂足分别为C D 且PC PD 求证 PB平分 ABD 3 书山有路B 选修4 2 矩阵与变换 2x 已知矩阵A 12 的一个特征值为 1 求另一个特征值及其对应的一个特征向量 C 选修4 4 坐标系与参数方程 x t若直线 y 2 2t 参数t R 与圆 x cos y sin a 参数 0 2 a为常数 相切 求a 的值 D 选修4 5 不等式选讲若对于一切实数x 不等式 2x 1 1 x x 2a 1 恒成立 求实数a的取值范围 必做题 第22题 第23题 每题10分 共计20分 请在答 题 卡 指 定 区 域 内作答 解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤 22 本小题满分10分 一个口袋装有5个红球 3个绿球 这些球除颜色外完全相同 某人一次从中摸出3个球 其中绿球的个数记为X 求摸出的三个球中既有红球又有绿球的概率 X的分布列及X的数学期望 23 本小题满分10分 2 1 2 nn 已知数列 an 中 1 a1 2 an 1 1 a a n N 3 82 1 求证 a 11 3 n 4 2n 2 求证 当n 3时 a 2 1 书山有路2012江苏高考最后一卷试题答案与评分标准数学 一 填空题 本大题共14小题 每小题5分 共计70分 解析 本题主要考查三角函数的周期性 答案 2 解析 本题主要考查复数的概念和运算 答案 12 解析 本题主要考查平面向量的垂直 答案 3 解析 本题主要考查古典概型 答案 49 解析 本题主要考查流程图 答案 2011 2012 解析 本题主要考查立体几何中的平行与垂直关系 答案 3 4 解析 本题主要考查圆锥曲线中离心率的计算 答案 5 解析 本题主要考查基本不等式 答案 3 解析 本题主要考查函数的性质 答案 4 1 解析 本题主要考查线性规划 答案 2 4 3解答如下 m 1m 1 画出可行域 如图所示阴影部分 而t n m n 1 1 m 1 其中n 1表示P m n 与点 1 1 连线的斜率k 由图可知 2 33 k 1 5 故t k 1 4 11 解析 本题主要考查平面向量的概念与数量积 答案 2解答如下 因为AP 1sin2 AB cos2 AC sin2 AO cos2 AC且sin2 cos2 0 1 所以点P t 0 2 则 2在线段OC上 故 PA PB PC 2PO PC 设 PO t PA PB PC 2t 2 t 1 2t2 4t 当t 1时取最小值 212 解析 本题主要考查函数的概念和最值 1 1 O 4 2 x y 5 书山有路 2 答案 1 解答如下 由题意 存在x 1 4 使g x f x x ax2 2x a 5 0 当x 1时 使g 1 1 0 22 2x2 5x 2 4x 54x 5当x 1时 解得a 设h x 则由h x 2 x2 1 2 x2 1 x2 1 2 1 0 得x 2或x 2 舍去 且h x 在 1 2 上递增 在 2 4 上递减 因此当x 2时 g x 4x 5 2 x2 1 2 最大 1 所 以a的取值范围是 1 213 解析 本题主要考查数列的通项 答案 34解答如下 ij i2 i 444 可以求得通项a i2 i 2j 1 所以i2 i 2j 1 445且1 j i 从而 i2 i 446 解得 i 21 于是j 13 故i j 3414 解析 本题主要考查直线与圆的方程及位置关系 答案 5 2解答如下 由题可知动直线ax by c 0过定点A 1 2 设点M x y 由MP MA可求得点M的轨迹方程为圆Q x2 y 1 2 2 故线段MN长度的最大值为QN r 5 2 二 解答题 本大题共6小题 共计90分 15 本题主要考查平面向量的数量积 边角关系的互化 考查运算求解能力 2分 3分 解 1 由题意 2sinAcosB sinCcosB cosCsinB所以2sinAcosB sin B C sin A sinA 因为0 A p 所以sinA 0 1 所以cosB 5分2因为0 B p 所以B 6分3 2 因为m n 12cosA 5cos2A 8分 所以m n 10cos2A 12cosA 5 10 cosA 3 2 43 10分55所以当cosA 3时 m n取最大值5 此时sinA 4 0 A p 于是tanA 453 12分 所以tan A tanA 1 1 6 4tanA 17 14分 书山有路16 本题主要考查直线与平面 平面与平面的位置关系 考查空间想象能力 推理论证能力 证明 1 直棱柱ABCD A1B1C1D1中 BB1 平面ABCD BB1 AC 2分又 BAD ADC 90 AB 2AD 2CD CAB ABC 45 BC AC 5分 AC 平面B1BC AC B1C B1CB是二面角B1 AC B的平面角 7分 2 存在点P P为A1B1的中点 8分 2 由P为A1B1的中点 有PB1 AB 且PB1 1AB 又 DC AB DC 1AB DC PB1 且DC PB1 2 DCPB1为平行四边形 从而CB1 DP 11分 又CB1 面ACB1 DP 面ACB1 DP 面ACB1 12分同理 DP 面BCB1 14分17 本题主要考查 考查数学建模能力 抽象概括能力和解决实际问题的能力 解 1 由题意 每小时的燃料费用为0 5x2 0 x 50 1分从甲地到乙地所用的时间为300小时 2分x则从甲地到乙地的运输成本y 0 5x2 300 m 300 0 x 50 xx即y 150 x 2m 0 x 50 6分x 2 y 150 1 2m 8分 x2令y 0 得x 2m 负值舍去 当x 0 2m 时 y关于x单调递减当x 2m 时 y关于x单调递增 9分所以 当2m 50即1250 m 1600时 x 50时y取最小值 11分当2m 50即1000 m 1250时 x 2m时y取最小值 13分综上所述 若1000 m 1250 则当货轮航行速度为2m海里 小时时 运输成本最少 若1250 m 1600 则当货轮航行速度为50海里 小时时 运输成本最少 14分18 本题主要考查直线的方程及椭圆的标准方程 考查数学运算求解能力 综合分析问题的能力 c3 a2 解 1 根据e x2y2 7 4b2 b2 可设椭圆方程为 1 82 书山有路将M 2 1 代入可得b2 2 x2y2 所以椭圆C的方程为 1 4分 2 lOM 因此左焦点为 6 0 斜率k k 1 所以直线l的方程为y 1 x 6 即y 1x 22 6 6分2 1 1 2 设直线MA MB的斜率分别为k1 k2 则k1 x 2 2 2 2 y 1y 1 k x 2 12 k k y1 1 y2 1 y1 1 x2 2 y2 1 x1 2 x1 2x2 2 x1