第六章非线性有限元法 几何非线性 1 变形体的运动描述 变形体上的质点的运动状态可以随不同的坐标选取以下几种描述方法 1 全拉格朗日列式法 T L列式法 TotalLagrangianFormulation 选取t0 0时刻未变形物体的构形A0作为参照构形进行分析 2 修正拉格朗日列式法 U L列式法 UpdatedLagrangianFormulation 选取tn时刻的物体构形An作为参照构形 由于An随计算而变化 因此其构形和坐标值也是变化的 即与t有关 tn为非线性增量求解时增量步的开始时刻 3 欧拉描述法 EulerianFormulation 独立变量是质点当前时刻的位置xn 1与时间tn 1 几何非线性的有限元方程一般采用T L或U L列式法建立 变形梯度张量 1 首先采用Lagrangian方法 将一个物体的加载过程划分为一系列平衡状态 位移方程 初始状态与变形后状态之间坐标关系为 2 然后 考虑材料方向矢量 这个矢量描述物体内一段无限小的单元 式中 Fij称为变形梯度张量 初始状态与变形后状态之间材料方向矢量的关系 变形梯度张量 由位移方程 得 由二阶张量特性 变形梯度张量的三个不变量为 由于Fij表示从初始状态到变形后状态的一个映射 其逆映射Fij 1一定存在 即 或写为 体积映射 面积映射 Fij是一个二阶张量 应变与变形测度 由于变形梯度张量Fij中包含了刚体运动 因此不能直接用于定义应变测度 而材料方向矢量则不包含刚体运动 因此它的平方值可以作为衡量从某一状态到变形后状态的一个测度 定义为 初始状态 一个应变测度应该能反映出材料一段长度发生的改变 因此 应变张量可以由下式定义 变形后状态 提醒 由于Green应变张量表达式中的变形梯度张量对应于初始状态 因此该应变张量也应在初始状态下计算 应变与变形测度 Almanshi应变张量 1 Green应变张量 Green应变张量采用Lagrangian运动描述方法 即按初始状态下的构形定义应变张量 式中 eij称为Green应变张量或Green Lagrangian应变张量 Almanshi应变张量采用Eular运动描述方法 即按当前状态下的构形定义应变张量 式中 Eij称为Almanshi应变张量或Almanshi Eular应变张量 由于大变形问题有限元方程主要采用T L列式法或U L列式法建立 因此应在初始状态下定义应变张量 即采用Green应变张量 可以证明Green应变张量和Almanshi应变张量都是二阶对称张量 应变与变形测度 2 Green Lagrangian应变张量eij与小应变张量 ij的关系 将变形梯度张量表达式代入到Green应变张量公式中 得 式中 为小变形应变张量 2 Green变形张量也可写为 为非线性二次项 1 Green应变张量为小应变张量与一个非线性二次项之和 这意味所有大变形分析都是非线性的 式中 Cij是Cauchy变形张量 由于Cauchy变形张量是正定对称阵 因此该张量有三个实特征值 这些特征值的平方根记为材料的主轴拉伸 大变形的应力测度 1 柯西应力张量 Cauchy sstresstensor 取三维空间笛卡儿坐标系 在t时刻的现时构形中截取一个四面体素 斜面的法线为n 另外三个面元与所取坐标面平行 由四面体素的平衡条件得出其上的应力为 这里 ij ji便是柯西应力张量 它是二阶对称张量 柯西 Cauchy 应力张量是一种采用欧拉描述法 是以质点的瞬时坐标xk和时间t作为自变量描述 定义在t时刻的现时构形上的应力张量 ij 又称欧拉应力张量 在大变形 有限变形 情况下 由于变形前的初始构形和变形后的现时构形差别较大 柯西 Cauchy 应力张量难于适应 柯西应力是定义在现时构形 变形后状态下 的单位面积上的力 是与变形相关的真实应力 3 大变形的应力测度 2 一阶Piola Kirchoff应力张量 一阶Piola Kirchoff应力张量的定义是建立在总力相等的基础上 即 在参考状态下该应力张量能给出与变形后状态下柯西应力张量相同的力 变形后状态下 称为一阶Piola Kirchoff应力张量或名义应力 参考后状态下 将面积映射关系 代入上式 得 同样 柯西应力张量也可以由一阶Piola Kirchoff应力张量表示 从该式可以看出 一阶Piola Kirchoff应力张量提供了以参考状态表示实际力的形式 但是 直接应用一阶Piola Kirchoff应力张量可能存在以下两个困难 1 从能量角度上 Tij不适合与Green应变张量共同使用 因为Tij乘以Green应变张量不会产生与Cauchy应力张量与小应变张量相同的能量密度 2 Tij不对称 因而较难应用到有限元分析中 大变形的应力测度 3 二阶Piola Kirchoff应力张量 如不采用变形后状态dP推导应力张量 而是将作用在变形后状态下的dP映射到未变形状态上 映射是采用逆变形梯度张量 即 这样可以定义另一个应力张量S 它给出了未变形状态下作用在未变形面积上的总力 现在 变换柯西应力张量 使 将面积映射关系代入上式 1 2 3 4 对比 2 4 式可得 Sij称为二阶Piola Kirchoff应力张量或伪应力 同样 由上式可得 二阶Piola Kirchoff应力张量Sij的性质 Sij是对称阵 Sij在能量角度下与Green应变张量协调 即 该表达式的优点在于等式右边是在参考状态下计算的 Sij与Tij有以下关系 二阶Piola Kirchoff应力张量的物理意义是明确的 真实的力元可以看成是由Sij定义的力元经与变形相同的方式被 拉长和转动 后得到的 大变形的应力测度 4 三个应力张量的比较 张量作用力作用面积 柯西应力张量 ij变形后状态下的力变形后状态下的面积 一阶P K应力张量变形后状态下的力未变形状态下的面积 二阶P K应力张量未变形状态下的力未变形状态下的面积 因此 虽然二阶P K应力张量有其应用上的优点 但其本身的物理意义很难理解 它主要是起到求解大变形问题的桥梁作用 通过它计算出柯西应力张量 几何非线性有限元方程的建立 如前所述 几何非线性的有限元方程一般采用T L或U L列式法建立 1 全拉格朗日列式法 T L列式法 选取t0 0时刻未变形物体的构形A0作为参照构形进行分析 2 修正拉格朗日列式法 U L列式法 选取tn时刻的物体构形An作为参照构形 由于An随计算而变化 因此其构形和坐标值也是变化的 即与t有关 tn为非线性增量求解时增量步的开始时刻 即增量分析 图示物体同时作用有体积力fib和面力fiS 在时刻tn 1 tn tn的平衡方程可以按虚功原理建立 提醒 该方程此时不可解 因为应力和应变在变形后状态下表示未知 几何非线性有限元方程的建立 2 在外力作用点和方向都不改变的条件下 也可以将体积力fib和面力fiS定义到初始状态下 提醒 上式给出的虚功方程是从变形后状态下的虚功方程转换而来 因此是准确的 但是已经完全定义在初始状态下了 为了求解 需将以上变形后状态下表示的虚功方程转换到初始状态下表达 1 采用二阶Piola应力张量和Green应变张量将虚应变能转换到初始状态下表示 将以上关系代入到虚功方程中 得 a 几何非线性有限元方程的建立 表示该张量对应的时刻 1代表初始状态时刻 2为变形后状态时刻 如该标识缺省 则表示从初始状态变化到变形后状态该张量的增量 代表定义该张量所对应的构形 1为初始状态构形 2为变形后状态构形 如该标识缺省 则为初始状态构形 在利用增量法 修正拉格朗日列式法 求解时 为了分析的方便 在张量符号的左侧引入上下标 分别该张量对应时刻以及定义该张量的构形 当引入以上表示后 按t1 t时刻构形建立的虚功方程可以写为 或写为 式中 表示外力所做的虚功 几何非线性有限元方程的建立 引入此前Green应变张量表达式 可得 再将变形后状态下Kirchoff应力张量表示为未变形状态的Kirchoff应力张量加上一个应力增量 a b 注意 式 b 中为作用在未变形构形上并以未变形状态下表示的Kirchoff应力张量 实际上就是柯西应力张量 虚功方程 c 几何非线性有限元方程的建立 为tn时刻初始构形上外力所做虚功 将以上 a c 两式代入到虚功方程中 可得 即变形后状态下的虚功方程为 式中 为tn t时刻初始构形上外力所做的虚功 这里 虚功方程中由于包含了非线性二次项 因此方程是非线性方程 这个方程还不能直接求解 为了求解这个方程 需要将方程线性化 6 非线性平衡增量方程的线性化 通常 可以假定应变增量和应力增量之间以下线性本构关系 将以上关系代入到虚功方程中 得 然而上式依然包含有非线性二次项 不可直接求解 一般需要引入以下线性化近似 则有以下线性化的非线性平衡增量方程 从以上线性化过程可以看出 这种线性化处理是有局限性的 在分析非线性大应变时会造成较大误差 可以采用其他有限元格式 如摄动法有限元 7 几何非线性问题的有限元基本方程 单元刚度阵的形成 第一步 坐标 位移插值 第二步 应变 应力插值 将以上插值关系代入到线性化非线性平衡增量方程 得 式中 6 U L列式下平面杆元的几何非线性切线刚度矩阵 1 杆元位移函数 注意在以下推导中 杆元的结点位移和结点力实际上为相应杆元的位移增量和结点力的增量 应变