书山有路 模板一求函数值 例1 2018年理数全国卷II 已知 是定义域为 的奇函数 满足 若 则 A B 0C 2D 50 答案 C 解析 模板构建已知函数解析式求函数值 常伴随对函数的单调性 奇偶性 周期性和对称性的考查 其解题思路如下 变式训练 2018年江苏卷 函数满足 且在区间 上 则 的值为 模板二函数的图象 例2 2018年理数全国卷II 函数 的图像大致为 1 书山有路 A AB BC CD D 答案 B 解析 为奇函数 舍去A 舍去D 所以舍去C 因此选B 模板构建有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路 1 由函数的定义域 判断图象左右的位置 由函数的值域 判断图象的上下位置 由函数的单调性 判断图象的变化趋势 由函数的奇偶性 判断图象的对称性 由函数的周期性 判断图象的循环往复 结合导数解答此类问题的基本要点如下 变式训练 2018年全国卷 文 函数 的图像大致为 2 书山有路 模板三函数的零点问题 1 1 x 例3 2018届北京市十一学校3月零模 已知函数f x 2 x3 那么在下列区间中含有函数f x 零点的是 1 3 11 32 12 23 2 3 A 0 B C D 1 答案 B 模板构建利用零点存在性定理可以根据函数y f x 在某个区间端点处函数值的符号来确定零点所在区间 这种方法适用于不需要确定零点的具体值 只需确定其大致范围的问题 基本的解题要点为 变式训练 2018年江苏卷 若函数 在 内有且只有一个零点 则在 上的最大值与最小值的和为 模板四三角函数的性质 例4 2018届福建省漳州市5月测试 已知函数 且对任意 都有 当取最小值时 函数 满足的单调递减区间为 Z A ZB C ZD Z 3 答案 A 解析 书山有路 那么 函数 当 时 取得最小值 即函数 令 得 所以 函数 的单调递减区间为 故选A 模板构建在利用三角函数的性质求最值或值域时 要注意 1 先确定函数的定义域 2 将已知函数化简为y Asin x k的形式时 尽量化成A 0 0的情况 3 将 x 视为一个整体 解题思路为 2 2 变式训练 2018辽宁省凌源市模拟 已知函数f x cosx 3sinxsinx 2 4 当x 0 时 函数f x 的最小值与最大值之和为 模板五三角函数的图象变换 书山有路 4 1 2 例5 将函数fx 2sinx 的图象上各点的横坐标缩小为原来的 再向右平移 0 个单位后 得到的图象关于直线x 对称 则 的最小值是 2 A B C 43 4 D 33 8 答案 D 模板构建三角函数图象变换的主要类型 在x轴方向上的左 右平移变换 在y轴方向上的上 下平移变换 在x轴或y轴方向上的伸缩变换 其基本步骤如下 3 2 变式训练 2018湖南省长郡中学模拟 为了得到函数y sin2x 的图象 只需把函数 3 y cos2x 的图象 5 向左平移个单位长度2向右平移个单位长度2向左平移个单位长度4向右平移个单位长度4模板六解三角形 书山有路 中 则 D 例6 2018年理数全国卷II 在A B C 答案 A 模板构建利用正弦定理 余弦定理都可以进行三角形的边 角之间的互化 当已知三角形的两边及一边的对角 或已知两角及一角的对边时 可以利用正弦定理求解三角形中的有关量 如果已知三边或两边及其夹角 则可利用余弦定理进行求解 其基本思路如下 变式训练 2018河南省南阳市第一中学模拟 在 ABC中 内角A B C所对的边分别为 3ccosB a b c sinB acosB bcosA 1 求B 2 若b 23 ABC的面积为23 求 ABC的周长 模板七利用函数性质解不等式 例7已知定义在R上的偶函数f x 在 0 上递减且f 1 0 则不等式f log4x f log1x 0的 4 解集为 答案 1 4 6 4 书山有路 模板构建函数性质法主要适用于解决抽象函数对应的不等式问题 其解题要点如下 变式训练 2018届广东省模拟 二 已知函数 当 时 关于的不等式 的解集为 模板八利用基本不等式求最值 为正实数 则 的最小值为 例8 2018广西钦州质量检测 已知 答案 解析 a b R a 4b 1 当且仅当 即a 2b时上述等号成立 故答案为 9 模板构建拼凑法就是将函数解析式进行适当的变形 通过添项 拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式 然后利用基本不等式求最值 应用此法求最值的基本思路如下 变式训练 已知x y R 且满足x 2y 2xy 那么3x 4y的最小值为 7 书山有路 模板九不等式恒成立问题 例9 2018年天津卷文 已知a R 函数 若对任意x 3 f x 恒成立 则a的取值范围是 答案 2 解析 模板构建分离参数法是求解不等式恒成立问题的常用方法 其解题要点如下 m x 变式训练 2018河南省中原名校联考 已知函数f x x m 1 lnx m 0 当x 1 e 时 f x 0恒成立 则实数m的取值范围为 A 0 1 2 B 1 C 0 1 D 1 2 模板十简单的线性规划问题 例10 2018年理北京卷 若 y满足 则2y 的最小值是 答案 3 解析 不等式可转化为 即 满足条件的在平面直角坐标系中的可行域如下图 8 书山有路 令 由图象可知 当 过点 时 取最小值 此时 的最小值为 模板构建线性规划问题是指在线性约束条件下求解线性目标函数的最值问题 解决此类问题最基本的方法是数形结合法 其基本的解题步骤如下 变式训练 河南省2018年高考一模 设不等式组表示的平面区域为D 若圆C 不经过区域D上的点 则r的取值范围为A B C D 模板十一数列的通项与求和例11 2018年专家猜题卷 数列的前项和为 已知 证明 数列是等比数列 求数列的前项和 答案 1 见解析 2 解析 1 证明 又 9 书山有路 数列是以1为首项 2为公比的等比数列 2 由 1 知 得 模板构建数列的通项与求和问题的解题步骤如下 是等 变式训练 2018年理数天津卷 设差数列 已知 是等比数列 公比大于0 其前n项和为 求和的通项公式 设数列的前n项和为 i 求 ii 证明 10 书山有路模板十二空间中的平行与垂直 例12 2018年江苏卷 在平行六面体 中 求证 1 2 答案 见解析 解析 证明 1 在平行六面体ABCD A1B1C1D1中 AB A1B1 因为AB平面A1B1C A1B1平面A1B1C 所以AB 平面A1B1C 模板构建证明空间中的平行与垂直的步骤如下 变式训练 2018南京市 盐城市一模 如图所示 在直三棱柱ABC A1B1C1中 CA CB 点M N分别是AB A1B1的中点 求证 BN 平面A1MC 若A1M AB1 求证 AB1 A1C 11 书山有路 模板十三求空间角例13 2018吉林省实验中学模拟 如图 AB为圆O的直径 点E F在圆O上 AB EF 矩形ABCD和圆O所在的平面互相垂直 已知AB 2 EF 1 求证 平面DAF 平面CBF 当AD的长为何值时 二面角D FE B的大小为60 设EF中点为G 以O为坐标原点 OA OG AD方向分别为x轴 y轴 z轴方向建立空间直角坐标系 如图 设AD t t 0 则点D的坐标为 则 又 2 1 0 t C 1 0 t A 1 0 0 B 1 0 0 F 1 3 0 2 12 书山有路 6 因此 当AD的长为时 平面DFC与平面FCB所成的锐二面角的大小为60 4 模板构建空间角的求解可以用向量法 向量法是通过建立空间直角坐标系把空间图形的几何特征代数化 避免寻找角和垂线段等诸多麻烦 使空间点 线 面的位置关系的判定和计算程序化 简单化 具体步骤如下 变式训练 在四棱柱ABCD A1B1C1D1中 底面ABCD是正方形 且BC BB1 2 A1AB A1AD 60 求证 BD CC1 若动点E在棱C1D1上 试确定点E的位置 使得直线DE与平面 1 BDB所成角的正弦值为7 14 模板十四直线与圆的位置关系例14 2018四川省绵阳市南山中学模拟 若圆x2 y2 4x 4y 10 0上至少有三个不同的点到直线l ax by 0的距离为22 则直线l的斜率的取值范围是 3 A 2 3 2 B 2 3 3 2 3 C 2 3 2 3 D 2 3 2 答案 B 解析 圆x2 y2 4x 4y 10 0可化为 x 2 2 y 2 2 18则圆心为 2 2 半径为3 2 13 书山有路 b 2 b 1 a a 4 0由直线l的斜率k ab 则上式可化为k2 4k 1 0解得 2 3 k 2 3 故选B 模板构建几何法是通过比较圆心到直线的距离与圆的半径的大小来确定直线和圆的位置关系的方法 其基本步骤如下 变式训练 2018北京市丰台区模拟 已知直线x 2y 1 0和圆 x 1 2 y2 1交于A B两点 则AB 模板十五圆锥曲线中的最值与范围问题 x2y2 例15 2018辽宁省凌源模拟 知椭圆C 1 a b 0 的离心率为a2b2 32 3 且过点 3 2 过 解析 I 依题意 93 a2 a2 4b2 椭圆C右焦点且不与x轴重合的直线l与椭圆C交于P x1 y1 Q x2 y2 两点 且y1 y2 0 求椭圆C的方程 若点Q1与点Q关于x轴对称 且直线Q1P与x轴交于点R 求 RPQ面积的最大值 c 3 1 解得a 23 b 3 c 3 故椭圆C的方程为12 14 3 x2 y2 1 a2 b2 c2 2 依题意 椭圆右焦点F坐标为 3 0 设直线l x my 3 m 0 123 直线l与椭圆C方程联立 x2 y2 书山有路x my 3 1 化简并整理得 m2 4 y2 6my 3 0 6m3 y1 y2 m2 4 y1y2 m2 4 1 由题设知直线QP 12 1 1 12 y y 的方程为y y x x x x 令 y 0得 112 1221 1221 1 12 12 12 y x x my 3 y my 3 y xy xy x x y y y y y y 6m 6m m2 4 m2 4 3 4 点 9 当且仅当m2 1 m2 1 即m 2时等号成立 RPQ的面积存在最大值 最大值为1 模板构建与圆锥曲线有关的最值问题的变化因素多 解题时需要在变化的过程中掌握运动规律 抓住主变元 目标函数法是避免此类问题出错的法宝 应注意目标函数式中自变量的限制条件 如直线与椭圆相交 0等 解题步骤如下 变式训练 2018 合肥市质检 已知点F为椭圆E a2b2 x2 y2 1 a b 0 的左焦点 且两焦点与短轴的 xy一个顶点构成一个等边三角形 直线 1与椭圆E有且仅有一个交点M 42 15 书山有路求椭圆E的方程 设直线x y 1与y轴交于P 过点P的直线l与椭圆E交于不同的两点A B 若 PM 2 PA PB 42求实数 的取值范围 模板十六圆锥曲线中的探索性问题 的右焦点为 例16 2018届河南省师范大学附属中学高三8月开学 已知椭圆为椭圆的上顶点 为坐标原点 且是等腰直角三角形 1 求椭圆的方程 2 是否存在直线交椭圆于两点 且使为的垂心 垂心 三角形三条高的交点 若存在 求出直线的方程 若不存在 请说明理由 答案 1 2 解析 由 OMF是等腰直角三角形得b 1 a 故椭圆方程为假设存在直线l交椭圆于P Q两点 且使F为 PQM的垂心设P Q 因为M 0 1 F 1 0 故 故直线l的斜率于是设直线l的方程为由得由题意知 0 即 3 且由题意应有 又故 解得或经检验 当 时 PQM不存在 故舍去 当时 所求直线满足题意综上 存在直线l 且直线l的方程为 16 书山有路 模板构建圆锥曲线中的探索性问题在高考中多以解答题的形式呈现 常用假设存在法求解 其解题要点如下 变式训练 2018届广西柳州市高三上学期摸底 已知过抛物线C y2 2px p 0 的焦点F 斜率为2的直线交抛物线于A x1 y1 B x2 y2 x1 x2 两点 且AB 6 求该抛物线C的方程 已知抛物线上一点M t 4 过点M作抛物线的两条