书山有路数学 供理科考生使用 本试题卷分第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 其中第 卷第22 24题为选考题 其它为必考题 第 卷1至3页 第 卷3至6页 考试结束后 将本试题卷和答题卡一并交回 参考公式 样本数据x1 x2 xn的标准差 锥体体积公式 12 n n s 1 x x 2 x x 2 x x 2 3 V 1Sh 其中x为样本平均数柱体体积公式 其中S为底面面积 h为高球的表面积 体积公式 S 4 R2 V 4 R3 V Sh其中S为底面面积 h为高 3其中R为球的半径 第 卷 选择题共60分 一 选择题 本大题共12小题 每小题5分 共60分 在每小题给出的四个选项中 只有一个是符合题目要求的 1 已知全集U R 集合A x x 1x 2 U 0 则集合 A等于 A x x 1或x 2 C x x 1或x 2 B x x 1或x 2 D x x 1或x 2 i5 1 2i 则它的共轭复数z等于 2 已知复数z A 2 iB 2 iC 2 iD 2 i 3 已知A B C三点不共线 且点O满足OA OB OC 0 则下列结论正确的是 12 33 A OA AB BC 21 33 B OA AB BC 12 33 C OA AB BC 21 33 D OA AB BC n 3n3n 1 4 已知数列 a 满足loga 1 loga 246 n N 且a a a 9 则 log1 a5 a7 a9 的值是3 5 A 5B 1 C 5 D 15 5 在下列给出的四个命题中 为真命题的是 1 书山有路 开始 是 结束 输出n a 3151 b 1 105 n 2008 a 8000否 n n 1 A a R b Q a2 b2 0C n Z m Z n m2 B a R b Q a2 b2 1D n Z m Z nm m 6 甲 乙两个小组各5名同学在某次英语口语测试中的成绩统计如下面的茎叶图所示 若x甲 x乙分别表示甲 乙两个小组5名同学的平均成绩 则下列结论正确的是 x甲 x乙 且甲组比乙组成绩整齐x甲 x乙 且乙组比甲组成绩整齐x甲 x乙 且甲组比乙组成绩整齐x甲 x乙 且乙组比甲组成绩整齐 7 在 ABC中 A B C所对的边分别为a b c 若 A B 1 2 且 a b 1 3 则cos2B的值是 12 A B 12 32 C D 32 8 某校现有男 女学生党员共8人 学校党委从这8人中选男生2人 女生1人分别担任学生党支部的支部书记 组织委员 宣传委员 共有90种不同方案 那么这8人中男 女学生 B 男生6人 女生2人D 男生5人 女生3人 的人数分别是A 男生2人 女生6人C 男生3人 女生5人9 上海浦东新区2008年的生产总值约为3151亿元人民币 如果从此浦东新区生产总值的年增长率为10 5 求浦东新区最早哪一年的生产总值超过8000亿元人民币 某同学为解答这个问题设计了一个程序框图 但不慎将此框图的一个处理框中的内容污染而看不到了 则此框图中因被污染而看不到的 内容应是A a a bC a a b n B a a bD a a bn 10 对于直线m n和平面 的一个充分条件是 A m n m n B m n m n C m n n m D m n m n 11 已知抛物线C y2 2px p 0 与直线2x my 3 0相交于A B两点 以抛物线C的焦点F为圆心 FO为半径 O为坐标原点 作 F F分别与线段AF BF相交 于D E两点 则 AD BE 的值是 A 23 B 32 C 49 D 94 65 2 024 6 4 301 甲乙 789 书山有路 主视图 2 2 2俯视图 左视图 12 已知a b都是正数 且a 2 b 2 则a2 2b为非负数的概率是 A 12 B 13 C 114 6 D 第 卷 非选择题共90分 本卷包括必考题和选考题两部分 第13题 第21题为必考题 每个试题考生都必须作答 第22题 第24题为选考题 考生根据要求作答 二 填空题 本大题共4小题 每小题5分 共20分 3 2 x a 13 若关于x的方程 3 2a有负数根 则函数y log 2x 3 在区间 1 4 上的最大 值是 14 一个几何体的三视图如右图所示 尺寸的长度单位为 cm 则该几何体的表面积为cm2 x2y2 15 设双曲线 1 b a 0 的半焦距为 a2b2c 直线l经过点 a 0 0 b 坐标原点到 3 直线l的距离为c 则此双曲线的离心率的值为 416 如果函数y x2 2tx与y 2sin x x 0 k 0 在某一点取得相等的最小值 则k的k最大值是 三 解答题 本大题共6小题 共70分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分12分 已知数列 an 为等差数列 且有a3 a6 a10 a12 a15 20 a7 14 求数列 an 的通项an及其前n项和Sn 1 Sn 记数列 2 的前n项和为Tn 试用数学归纳法证明对任意n N 都有 31 4n 1 Tn 18 本小题满分12分 11111 3 2 1 如图 在正四棱柱ABCD ABCD中 AB BC 1AA 点E在棱CC上 书山有路 若B1E BC1 求证 AC1 平面B1D1E 设 1 CE EC 111 问是否存在实数 使得平面ADE 平面BDE 若存在 求出 的 值 若不存在 请说明理由 19 本小题满分12分 某校的学生记者团由理科组和文科组构成 具体数据如下表所示 组别理科文科 学校准备从中选出4人到社区举行的大型公益活动进行采访 每选出一名男生 给其所在小组记1分 每选出一名女生则给其所在小组记2分 若要求被选出的4人中理科组 文科组的学生都有 求理科组恰好记4分的概率 设文科男生被选出的人数为 求随机变量 的分布列和数学期望E 20 本小题满分12分 如图 已知椭圆的中心在坐标原点 焦点在x轴上 它的一个顶点为A 0 2 且离 3 心率等于 过点M 0 2 的直线l与椭圆相交于P Q不同两点 点N在线段PQ上 2 求椭圆的标准方程 PN NQ PM MQ 设 试求 的取值范围 21 本小题满分12分 已知函数f x x2 ax a e x a为常数 e为自然对数的底 若函数f x 在x 0时取得极小值 试确定a的取值范围 在 的条件下 设由f x 的极大值构成的函数为g x 试判断曲线g x 只 B C A D C1 1 D1 性别男生女生A1男生女B生人数5432 E M Q l A P x y o N 4 书山有路可能与直线2x 3y m 0 3x 2y n 0 m n为确定的常数 中的哪一条相切 并说明理由 考生注意 请考生在第22 23 24三题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题计分22 做本答小时题 满用分210铅分笔 在选答修题4卡 上1 把几所何选证题明目选对讲应的题号涂黑 如图 在 ABC中 B 90 以AB为直径的 O交AC于D 过点D作 O的切线交BC于E AE交 O于点F 证明 E是BC的中点 证明 AD AC AE AF 23 本小题满分10分 选修4 4 坐标系与参数方程 1 在平面直角坐标系xoy中 曲线C的参数方程为 x 4cos y 2sin 为参数 以坐标原点O 为极点 x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 得曲线C2的极坐标方程为 2cos 4sin 0 化曲线C1 C2的方程为普通方程 并说明它们分别表示什么曲线 设曲线C1与x轴的一个交点的坐标为P m 0 m 0 经过点P作曲线C2的切线l 求切线l的方程 5 24 本小题满分10分 选修4 5 不等式选讲已知函数f x x 2 g x x 3 m 解关于x的不等式f x a 1 0 a R 若函数f x 的图象恒在函数g x 图象的上方 求m的取值范围 数学参考答案与评分标准 理科 书山有路 一 选择题 每小题5分 共60分 二 填空题 每小题5分 共20分 2213 loga11 14 18 23 15 2 16 3 三 解答题17 解 因为 an 为等差数列 且3 15 6 12 所以a3 a15 a6 a12 得a10 20 2分由a10 a1 9d及a7 a1 6d联立解得a1 2 d 2 2分因此得an 2n Sn n n 2分2 11 n 1 111 证明 1 当n 1时 T S2n2 n 1 21S212 224 311 41 14 31 4k 1 关系成立 1分 2 假设当n k时 关系成立 即Tk 222 12 111131 1 kk 1 则Tk 1 S2 S2 SS4k 1 k 1 k 2 2 1分 3 k 4k 4k k 4k 3 3 k 2k k 2k 4k 23223224 k 1 2 k 2 24 k 1 2 k 2 2 3 k 1 2 k 2 3 1 3 1 即当n4 k 1 2 k 2 24k 24 k 1 1 k 1时关系也成立 31 4n 1 3分根据 1 和 2 知 关系式Tn 对任意n N 都成立 1分 18 证明 连接A1C1 因为棱柱ABCD A1B1C1D1是正四棱柱 所以A1C1 B1D1 且A1C1是AC1在底面A1B1C1D1内的射影 因此B1D1 AC1 2分同理 BC1是AC1在平面BCC1B1内的射影 因为B1E BC1 所以B1E AC1 又B1D1B1E B1 所以AC1 平面B1D1E 3分 来源 Zxxk Com 解 因为 1 EC 1 1 CECC 所以EC 1 6 1 1 2 因为AB BC AA 不妨设AB 1 则 AA1 2 以D1为坐标原点 分别以D1A1 D1C1 D1D为x y z轴建立坐标系 书山有路 则D1B1 1 1 0 D1A 1 0 2 D1E 0 1 21 1 2分设平面ADE的一个法向量为 1 n 由 11 11 n DA 0 n DE 0 1 21 得一个n 2 11 1 同理得平面DBE的一个法向量 2 2 1 n 1 1 12 3分令n n 0 即2 1 2 1 1 1 0 解得1 2 1 所以存在实数 1 使得平面AD1E 平面B1D1E 2分19 解 记 理科组恰好记4分 的事件为A 则A为 在理科组选出2名男生 1名女 54545 生或选出2名女生 2分共有C2 C1 C1 C2 C2 260种选法 基本事件数为 959595 87087 C3 C1 C2 C2 C1 C3 870 2分所以P A 260 26 2分 870 204495 870 162 870 由题意得 0 1 2 3 所以P 0 P 1 P 2 9 870 P 3 2分于是 的分布列为 2分 直接写出正确分布列的给4分 来源 学科网ZXXK 2044951629141870 870870 870145 的数学期望为E 0 1 2 3 2分 20 解 设椭圆的标准方程为 1 a b 0 a2b2 x2y2 1分 3 2 因为它的一个顶点为A 0 2 所以b2 2 由离心率等于 得 a2 a2 b2 32 82 22解得a2 8 所以椭圆的标准方程为x y 1 4分 设P x1 y1 Q x2 y2 N x0 y0 若直线l与y轴重合 则 00 PN NQ 2 y2 y 0 PM MQ 2 2 2 2 得y 1 得 2 1分 若直线l与y轴不重合 则设直线l的方程为y kx 2 与椭圆方程联立消去y得 12 1 4k2 x2 16kx 8 0 得x x 16k1 4k2 12 7 xx 81 4k2 2分 书山有路 1002 PM MQ 0 x0 x由 得1 2 PN NQ x xx x 12012 整理得2xx x x x 将 代入得 000 0 kk x 1 又点N x y 在直线l上 所以y k 1 2 1 2分 1 于是有1 y 2 因此 2 y1 1 y1 1 1 y1 1y1 1y1 1 1 1 由1 y 2得 1 y1 1 2 1 所以 2 综上所述 有 2 2分 来源 学科网 21 解 f