第7章FIR数字滤波器设计 7 1FIRDF设计的窗函数法7 2窗函数7 3FIRDF设计的频率抽样法附 IIR与FIR数字滤波器的比较 IIR数字滤波器 有极点 也有零点 因此可以借用经典的连续滤波器的设计方法 且取得非常好的效果 如好的衰减特性 准确的边缘频率 由于FIR数字滤波器 只有零点而没有极点 所以没办法借用连续滤波器的设计方法 其思路是 直接从频域出发 即以某种准则逼近理想的频率特性 且保证滤波器具有线性相位 7 1Fourier级数法 窗函数法 1 由理想的频率响应得到理想的 2 由得到因果 有限长的单位抽样响应 3 对加窗得到较好的频率响应 理想频率响应 一 思路与方法 设理想低通滤波器的幅频为1 相频为零 则 特点 无限长非因果偶对称 于是 注意 是因果的 且是线性相位的 即 这样 于是 使用了矩形窗 上式的的表达式及设计的思路可推广到高通 带阻及带通滤波器 也可推广到其它特殊类型的滤波器 实际上 给定一个 只要能积分得到 即可由截短 移位的方法得到因果的 且具有线性相位的FIR滤波器 加窗处理后对频率响应的影响 时域乘积相当于频域卷积 而矩形窗的频率响应 幅度函数 幅度函数 加窗函数的影响 不连续点处边沿加宽形成过渡带 其宽度 两肩峰之间的宽度 等于窗函数频率响应的主瓣宽度 在处出现肩峰值 两侧形成起伏振荡 振荡的幅度和多少取决于旁瓣的幅度和多少 改变N只能改变窗谱的主瓣宽度 但不能改变主瓣与旁瓣的相对比例 其相对比例由窗函数形状决定 称为Gibbs效应 例1 设计低通FIRDF 令归一化截止频率 0 125 N 10 20 40 用矩形窗截短 结果如右图 接上例 N 10分别用矩形窗和Hamming窗 使用Hamming窗后 阻带衰减变好 但过渡带变宽 高通 令 相当于用一个截止频率在处的低通滤波器 实际上是全通滤波器 减去一个截止频率在处的低通滤波器 令 相当于用一个截止频率在处的低通滤波器减去一个截止频率在处的低通滤波器 带通 令 窗函数 自然截短即是矩形窗 当然也可以用其它形式的窗函数 带阻 例 理想差分器及其设计 理想微分器的频率特性 奇对称 纯虚函数 实际相频特性 幅频 1矩形窗2哈明窗 例 设计Hilbert变换器 优点 1 无稳定性问题 2 容易做到线性相位 3 可以设计各种特殊类型的滤波器 4 方法特别简单 缺点 1 不易控制边缘频率 2 幅频性能不理想 3 较长 二 FIRDF设计的窗函数法的特点 改进 1 使用其它类型的窗函数 2 改进设计方法 7 2窗函数 窗函数的使用在数字信号处理中是不可避免的 数据 频谱 自相关函数等都需要截短 对窗函数提出那几方面的要求 关键是要搞清楚使用窗函数后所产生的影响 一个域相乘 在另一个域是卷积 对窗函数的技术要求 1 3dB带宽 主瓣归一化幅度降到 3dB时的带宽 或直接用 令则的单位为 2 边瓣最大峰值 dB 3 边瓣谱峰衰减速度 dB oct 常用窗函数 1 矩形窗 2 三角窗Bartlett窗 3 汉宁窗Hanning 4 汉明窗Hamming 矩形窗 三角形 Bartlett 窗 汉宁 Hanning 窗 升余弦窗 海明 Hamming 窗 改进的升余弦窗 布莱克曼 Blackman 窗 二阶升余弦窗 汉宁窗 布拉克曼窗比较 矩形窗 汉宁窗 布拉克曼窗比较 矩形窗 三角形窗比较 矩形窗 海明窗 凯泽窗比较 阻带最小衰减只由窗形状决定 过渡带宽则与窗形状和窗宽N都有关 六种窗函数基本参数比较 窗函数法的设计步骤 给定理想的频率响应函数及技术指标 求出理想的单位抽样响应 根据阻带衰减选择窗函数 计算频率响应 验算指标是否满足要求 根据过渡带宽度确定N值 求所设计的FIR滤波器的单位抽样响应 公式法 IFFT法 计算其IFFT 得 对M点等间隔抽样 2 求hd n 4 确定N值 3 选择窗函数 由确定海明窗 53dB 5 确定FIR滤波器的h n 6 求 验证 若不满足 则改变N或窗形状重新设计 7 3FIRDF设计的频率抽样法 窗函数法 给定连续的理想的 用 得到因果的 具有线性相位的FIRDF 逼近 离散化 直接赋值 可指定 如何指定 转移函数 频率响应和给定的的关系 用DFT系数作为权函数来表示设计出的 用插值的方法得到所要的滤波器 插值函数 权重 线性相位 应为实数 为偶数 为奇数 其它赋值方法见书 当然 阻带内应指定为零 另外 为了得到好的幅频响应 在1和0之间加过渡点 如0 5 窗函数法和频率抽样法设计的FIRDF的频率响应都不理想 即通带不够平 阻带衰减不够大 过渡带过宽 频率边缘不能精确指定 因此我们要寻找新的设计方法 此方法即是Chebyshev最佳一致逼近法 该方法在数字信号处理中占有重要的定位 是设计FIRDF最理想的方法 由于课时限制 此方法不在课堂上讲解 有兴趣的同学可查阅参考书自行学习 附 IIR和FIR数字滤波器的比较 IIR滤波器 FIR滤波器 h n 无限长 h n 有限长 极点位于z平面任意位置 滤波器阶次低 非线性相位 递归结构 不能用FFT计算 可用模拟滤波器设计 用于设计规格化的选频滤波器 极点固定在原点 滤波器阶次高得多 可严格的线性相位 一般采用非递归结构 可用FFT计算 设计借助于计算机 可设计各种幅频特性和相频特性的滤波器 与本章内容有关的MATLAB文件 产生窗函数的文件有八个 bartlett 三角窗 2 blackman 布莱克曼窗 3 boxcar 矩形窗 4 hamming 哈明窗 5 hanning 汉宁窗 6 triang 三角窗 7 chebwin 切比雪夫窗 8 kaiser 凯赛窗 两端为零 两端不为零 调用方式都非常简单请见help文件 稍为复杂 9 fir1 m用 窗函数法 设计FIRDF 调用格式 1 b fir1 N Wn 2 b fir1 N Wn high 3 b fir1 N Wn stop N 阶次 滤波器长度为N 1 Wn 通带截止频率 其值在0 1之间 1对应Fs 2b 滤波器系数 对格式 1 若Wn为标量 则设计低通滤波器 若Wn是1 2的向量 则用来设计带通滤波器 若Wn是1 L的向量 则可用来设计L带滤波器 这时 格式 1 要改为 b fir1 N Wn DC 1 或b fir1 N Wn DC 0 前者保证第一个带为通带 后者保证第一个带为阻带 格式 2 用来设计高通滤波器 格式 3 用来设计带阻滤波器 在上述所有格式中 若不指定窗函数的类型 fir1自动选择Hamming窗 10 fir2 m本文件采用 窗函数法 设计具有任意幅频相应的FIR数字滤波器 其调用格式是 b fir1 N F M F是频率向量 其值在0 1之间 M是和F相对应的所希望的幅频相应 如同fir1 缺省时自动选用Hamming窗 例 设计一多带滤波器 要求频率在0 2 0 3 0 6 0 8之间为1 其余处为零 设计结果如下 N 30 90时幅频响应响应及理想幅频响应 N 30 N 90 11 remez m设计Chebyshev最佳一致逼近FIR滤波器 Hilbert变换器和差分器 调用格式是 1 b remez N F A 2 b remez N F A W 3 b remez N F A W Hilbert 4 b remez N F A W differentiator N是给定的滤波器的阶次 b是设计的滤波器的系数 其长度为N 1 F是频率向量 A是对应F的各频段上的理想幅频响应 W是各频段上的加权向量 F A及W的指定方式和例7 4 1和7 4 2所讨论过的一样 唯一的差别是F的范围为0 1 而非 0 0 5 1对应抽样频率的一半 需要指出的是 若b的长度为偶数 设计高通和带阻滤波器时有可能出现错误 因此 最好保证b的长度为奇数 也即N应为偶数 例1 设计低通FIRDF b remez N F A W F 0 0 6 0 7 1 A 1 0 W 1 10 12 remezord m本文件用来确定在用Chebyshev最佳一致逼近设计FIR滤波器时所需要的滤波器阶次 其调用格式是 N Fo Ao W remezord F A DEV Fs F A的含意同文件remez DEV是通带和阻带上的偏差 输出的是适合要求的滤波器阶次N 频率向量Fo 幅度向量Ao和加权向量W 若设计者事先不能确定要设计的滤波器的阶次 那么 调用remezord后 就可利用这一族参数调用remez 即b remez N Fo Ao W 从而设计出所需要滤波器 因此 remez和remezord常结合起来使用 需要说明的是 remezord给出的阶次N有可能偏低 这时适当增加N即可 另外 最好判断一下 若N为奇数 就令其加一 使其变为偶数 这样b的长度为奇数 13firls m用最小平方法设计线性相位FIR滤波器 可设计任意给定的理想幅频响应 14fircls m用带约束的最小平方法设计线性相位FIR滤波器 可设计任意给定的理想幅频响应 15fircls1 m用带约束的最小平方方法设计线性相位FIR低通和高通滤波器 16sgolay m用来设计Savitzky GolayFIR平滑滤波器 其原理见9 1 1节17firrcos m用来设计低通线性相位FIR滤波器 其过渡带为余弦函数形状