第 1页 共 21页 2020 年江西省南昌市高考数学一模试卷 理科 年江西省南昌市高考数学一模试卷 理科 一一 选择题 本题共选择题 本题共 12 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一分 在每小题给出的四个选项中 只有一 项是符合题目要求的 项是符合题目要求的 1 5 分 已知全集为实数集R 集合 2 280 Ax xx 2 log1 Bxx 则 RA B 等于 A 4 2 B 4 2 C 4 2 D 0 2 2 5 分 在复平面内 复数zi 对应的点为Z 将向量OZ 绕原点O按逆时针方向旋转 6 所得向量对应的复数是 A 13 22 i B 31 22 i C 13 22 i D 31 22 i 3 5 分 一个正三棱柱的正 主 视图如图 则该正三棱柱的侧面积是 A 16B 12C 8D 6 4 5 分 由实数组成的等比数列 n a的前n项和为 n S 则 1 0a 是 98 SS 的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件 C 充要条件D 既不充分也不必要条件 5 5 分 已知向量a b 1 3 b 且a 在b 方向上的投影为 1 2 则 a b 等于 A 2B 1C 1 2 D 0 6 5 分 函数 cos 1 1 1 x ln xx f xx ex 的图象大致是 A B 第 2页 共 21页 C D 7 5 分 根据散点图 对两个具有非线性关系的相关变量x y进行回归分析 设ulny 2 4 vx 利用最小二乘法 得到线性回归方程为 0 52uv 则变量y的最大值的估 计值是 A eB 2 eC 2lnD 22ln 8 5 分 已知抛物线 2 4yx 的焦点为F 抛物线上任意一点P 且PQy 轴交y轴于点 Q 则PQ PF 的最小值为 A 1 4 B 1 2 C l D 1 9 5 分 已知双曲线 22 22 1 0 0 xy Cab ab 的右焦点为F 过原点O作斜率为 4 3 的直 线交C的右支于点A 若 OAOF 则双曲线的离心率为 A 3B 5C 2D 3l 10 5 分 台球是一项国际上广泛流行的高雅室内体育运动 也叫桌球 中国粤港澳地区 的叫法 撞球 中国台湾地区的叫法 控制撞球点 球的旋转等控制母球走位是击球的一 项重要技术 一次台球技术表演节目中 在台球桌上 画出如图正方形ABCD 在点E F 处各放一个目标球 表演者先将母球放在点A处 通过击打母球 使其依次撞击点E F处 的目标球 最后停在点C处 若50AEcm 40EFcm 30FCcm 60AEFCFE 则该正方形的边长为 A 50 2cmB 40 2cmC 50cmD 20 6cm 11 5 分 如图 点E是正方体 1111 ABCDABC D 的棱 1 DD的中点 点F M分别在线段AC 1 BD 不包含端点 上运动 则 第 3页 共 21页 A 在点F的运动过程中 存在 1 EFBC B 在点M的运动过程中 不存在 1 B MAE C 四面体EMAC的体积为定值 D 四面体 11 FAC B的体积不为定值 12 5 分 已知函数 sin 0f xx 0 3 满足 f xf x 12 fl 则 12 f 等于 A 2 2 B 2 2 C 1 2 D 1 2 二二 填空题 本题共填空题 本题共 4 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 20 分 分 13 5 分 曲线 2 f xxx lnx 在点 1 f 1 处的切线方程为 14 5 分 已知 727 0127 21 xaa xa xa x 则 2 a 15 5 分 已知函数 22 0 2 0 x x x f x x 则 11 2 5 52 f lgf lgf lgf lg 的值为 16 5 分 两光滑的曲线相切 那么它们在公共点处的切线方向相同 如图所示 一列圆 22 2 0 nnnn Cxyara 0 n r 1n 2 逐个外切 且均与曲线 2 yx 相切 若 1 1r 则 1 a n r 第 4页 共 21页 三三 解答题 共解答题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第 17 21 题为必考题题为必考题 每个试题考生都必须作答 第每个试题考生都必须作答 第 22 23 题为选考题 考生根据要求作答题为选考题 考生根据要求作答 一 必考题 一 必考题 共共 60 分 分 17 12 分 如图 D是在ABC 边AC上的一点 BCD 面积是ABD 面积的 2 倍 22CBDABD 若 6 求 sin sin A C 的值 若4BC 2 2AB 求边AC的长 18 12 分 如图 三棱柱 111 ABCA BC 中 侧面 11 BCC B是菱形 2ACBC 1 3 CBB 点A在平面 11 BCC B上的投影为棱 1 BB的中点E 求证 四边形 11 ACC A为矩形 求二面角 11 EBCA 的平面角的余弦值 第 5页 共 21页 19 12 分 已知函数 2 x f xe xkx 其中e为自然对数的底 k为常数 有一个极大值 点和一个极小值点 求实数k的取值范围 证明 f x的极大值不小于 1 20 12 分 已知圆 222 1 1 3 Fxyr l r 圆 222 2 1 4 Fxyr 证明圆 1 F与圆 2 F有公共点 并求公共点的轨迹E的方程 已知点 Q m 0 0 m 过点E斜率为 0 k k 的直线与 I中轨迹E相交于M N 两点 记直线QM的斜率为 1 k 直线QN的斜率为 2 k 是否存在实数m使得 12 k kk 为定 值 若存在 求出m的值 若不存在 说明理由 21 12 分 某工厂生产零件A 工人甲生产一件零件A 是一等品 二等品 三等品的概 率分别为 1 4 1 2 1 4 工人乙生产一件零件A 是一等品 二等品 三等品的概率分别为 1 3 1 3 1 3 已知生产一件一等品 二等品 三等品零件A给工厂带来的效益分别为 10 元 5 元 2 元 试根据生产一件零件A给工厂带来的效益的期望值判断甲乙技术的好坏 为鼓励工人提高技术 工厂进行技术大赛 最后甲乙两人进入了决赛 决赛规则是 每一轮比赛 甲乙各生产一件零件A 如果一方生产的零件A品级优干另一方生产的零件 则该方得分 1 分 另一方得分l 分 如果两人生产的零件A品级一样 则两方都不得分 当一方总分为 4 分时 比赛结束 该方获胜 4 4 i Pi 3 2 4 表示甲总分为i时 最终甲获胜的概率 写出 0 P 8 P的值 求决赛甲获胜的概率 二 选考题 共 二 选考题 共 10 分 请考生在第分 请考生在第 22 23 题中任选一题作答 如果多做 则按所做的题中任选一题作答 如果多做 则按所做的 第 6页 共 21页 第第 题计分 题计分 选修选修 4 4 坐标系与参数方程 坐标系与参数方程 22 10 分 在直角坐标系xOy中 以坐标原点为极点 x轴的非负半轴为极轴建立极坐标 系 曲线 1 C的普通方程为 22 1 1xy 曲线 2 C的参数方程为 3cos 2sin x y 为参数 求曲线 1 C和 2 C的极坐标方程 设射线 0 6 分别与曲线 1 C和 2 C相交于A B两点 求 AB的值 选修选修 4 5 不等式选讲 不等式选讲 23 已知0a 0b 2ab 求 11 1ab 的最小值 证明 2ab baab 第 7页 共 21页 2020 年江西省南昌市高考数学一模试卷 理科 年江西省南昌市高考数学一模试卷 理科 一一 选择题选择题 本题共本题共 12 小题小题 每小题每小题 5 分分 共共 60 分分 在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中 只有一只有一 项是符合题目要求的 项是符合题目要求的 1 5 分 已知全集为实数集R 集合 2 280 Ax xx 2 log1 Bxx 则 RA B 等于 A 4 2 B 4 2 C 4 2 D 0 2 解答 解 4Ax x 或2 x 02 Bxx 42 RA xx 0 RA B 2 故选 D 2 5 分 在复平面内 复数zi 对应的点为Z 将向量OZ 绕原点O按逆时针方向旋转 6 所得向量对应的复数是 A 13 22 i B 31 22 i C 13 22 i D 31 22 i 解答 解 复数zi 对应的向量按逆时钟方向旋转 6 旋转后的向量对应的复数为 3113 cossin 662222 iiiii 故选 A 3 5 分 一个正三棱柱的正 主 视图如图 则该正三棱柱的侧面积是 A 16B 12C 8D 6 解答 解 根据正三棱柱图的正视图 可以转换出几何体为 如图所示 第 8页 共 21页 所以该几何体的底面边长为 22 3 12b 所以正三棱柱体的侧面积为32212S 故选 B 4 5 分 由实数组成的等比数列 n a的前n项和为 n S 则 1 0a 是 98 SS 的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件 C 充要条件D 既不充分也不必要条件 解答 解 8 98911 00SSaa qa 1 0a 是 98 SS 的充要条件 故选 C 5 5 分 已知向量a b 1 3 b 且a 在b 方向上的投影为 1 2 则 a b 等于 A 2B 1C 1 2 D 0 解答 解 因为 1 3 b 且a 在b 方向上的投影为 1 2 22 1 3 2b 所以 1 2 a b b 1a b 故选 B 6 5 分 函数 cos 1 1 1 x ln xx f xx ex 的图象大致是 A B 第 9页 共 21页 C D 解答 解 根据题意 函数 cos 1 1 1 x ln xx f xx ex 当1x 时 有 1 f xln x x x 时 1 x x 有 1 f xln x x 排除BC 当1x 时 f 1 cos 1 e e 排除D 故选 A 7 5 分 根据散点图 对两个具有非线性关系的相关变量x y进行回归分析 设ulny 2 4 vx 利用最小二乘法 得到线性回归方程为 0 52uv 则变量y的最大值的估 计值是 A eB 2 eC 2lnD 22ln 解答 解 由题意可知 2 0 5 4 2lnyx 所以2lny 所以 2 y e 故选 B 8 5 分 已知抛物线 2 4yx 的焦点为F 抛物线上任意一点P 且PQy 轴交y轴于点 Q 则PQ PF 的最小值为 A 1 4 B 1 2 C l D 1 解答 解 抛物线方程为 2 4yx 1 0 F 设 P m n 0 m 则 0 Qn PQ PFm 0 1m 22 11 1 24 nmmmmm 当 1 2 m 时 PQ PF 的值最小 最小值为 1 4 故选 A 第 10页 共 21页 9 5 分 已知双曲线 22 22 1 0 0 xy Cab ab 的右焦点为F 过原点O作斜率为 4 3 的直 线交C的右支于点A 若 OAOF 则双曲线的离心率为 A 3B 5C 2D 3l 解答 解 双曲线 22 22 1 0 0 xy Cab ab 的右焦点为F 过原点O作斜率为 4 3 的直线 交C的右支于点A 若 OAOF 可得 3 5 c A 4 5 c 把A的坐标代入双曲线方程可得 22 2 916 1 2525 ec b 即 22 2 916 1 252525 ee e 1e 解得5e 故选 B 10 5 分 台球是一项国际上广泛流行的高雅室内体育运动 也叫桌球 中国粤港澳地区 的叫法 撞球 中国台湾地区的叫法 控制撞球点 球的旋转等控制母球走位是击球的一 项重要技术 一次台球技术表演节目中 在台球桌上 画出如图正方形ABCD 在点E F 处各放一个目标球 表演者先将母球放在点A处 通过击打母球 使其依次撞击点E F处 的目标球 最后停在点C处 若50AEcm 40EFcm 30FCcm 60AEFCFE 则该正方形的边长为 A 50 2cmB 40 2cmC 50cmD 20 6cm 解答 解 连接AF AC 如图所示 AEF 中 由余弦定理得 222