第五章四边形第2节矩形 菱形 正方形 考点精讲 考点特训营 矩形 菱形 正方形 性质矩形判定思路面积性质菱形判定思路面积性质正方形判定思路面积四边形之间的转化关系 返回 性质 1 边 矩形的对边平行且相等AB CD AB CDAD AD BC2 角 四个角都是直角 ABC BCD ADC BAD 90 3 对角线 对角线互相平分且相等 OA OB OC OD AC 4 对称性 既是中心对称图形 也是轴对称图形 有 条对称轴 BC BD 两 返回 判定思路 面积 S a b表示长和宽 温馨提示矩形的计算可以通过对角线转化为直角三角形 等腰 边 三角形进行菱形 三个角是直角 对角线 ab 返回 性质 菱形的四条边都相等 AB BC CD DA对边平行 AB CD AD BC AC 1 边 菱形的对角线互相垂直且 AC BDAO OC DO OB对角线平分一组对角 平分 DAB与 BCD 平分 ABC与 ADC 2 对角线 3 对称性 既是轴对称图形也是中心对称图形 有 条对称轴 平分 BD 两 返回 判定思路 面积 S m n分别表示两条对角线的长 温馨提示菱形边 角的计算问题可以转化为直角三角形 等腰三角形进行 四条边 互相垂直 返回 性质 四条边都相等 AB BC CD AD对边平行 AB CD AD BC 1 边 AC BD对角线互相垂直平分且相等OD OB OA OCAC BD对角线平分 DAC BAC DCA BCA 45 一组对角 ADB CDB ABD CBD 45 3 对角线 2 角 四个角都是直角 ABC BCD ADC BAD 90 45 45 返回 判定思路 面积 S a表示正方形边长 a2 温馨提示有关正方形的计算可以转化为等腰直角三角形进行 互相垂直 相等 四边形之间的转化关系 返回 重难点突破 一矩形性质的有关计算例1在矩形ABCD中 BC 4 BG与对角线AC垂直 且分别交AC AD及CD延长线于点E F G 当点F为AD中点时 AB 解析 点F为AD中点 四边形ABCD是矩形 AD BC 4 AF AD 2 矩形ABCD中 AD BC EAF ECB AFE CBE AEF CEB CE 2AE BE 2FE AC 3AE BF 3FE 在矩形ABCD中 ABC BAF 90 在Rt ABC和Rt BAF中 分别由勾股定理得 AC2 AB2 BC2 BF2 AF2 AB2 设AB x 则 3AE 2 x2 42 3FE 2 22 x2 两式相加得9 AE2 FE2 2x2 20 又 AC BG 在Rt AEF中 根据勾股定理得 AE2 FE2 AF2 4 36 2x2 20 解得x 2或x 2 舍去 AB 2 练习1如图 在矩形ABCD中 点E F分别在边BC CD上 将 ABE沿AE折叠 使点B落在对角线AC上的点B 处 又将 CEF沿EF折叠 点C恰好落在EB 与AD的交点C 处 则BC AB的值为 解析 如解图 连接CC 将 ABE沿AE折叠 使点B落在AC上的点B 处 又将 CEF沿EF折叠 使点C落在EB 与AD的交点C 处 EC EC ECC EC C 在矩形ABCD中 AD BC DC C ECC DC C EC C C C是 EC D的角平分线 CB C D 90 CC CC CC B CC D CB CD 又 AB AB AB CB B 是对角线AC中点 即AC 2AB ACB 30 BAC 60 tan BAC tan60 BC AB的值为 二菱形性质的有关计算例2在菱形ABCD中 BAD 60 1 如图 点E为线段AB的中点 连接DE CE 若AB 4 求线段EC的长 思维教练 要求CE的长 需将其放在直角三角形中求解 由已知可证明 ABD为等边三角形 又由点E为AB的中点 可证明DE AB 求出DE 进而可在Rt ECD中 由勾股定理求得CE 自主作答 1 解 连接BD 如解图 菱形ABCD AB AD DC 4 又 A 60 ABD为等边三角形 又 E为AB的中点 EDB ADB 30 DE AB AE AB 2 在Rt AED中 DE EDC EDB BDC 90 在Rt CDE中 CE 2 如图 M为线段AC上一点 M不与A C重合 以AM为边 构造如图所示等边三角形AMN 线段MN与AD交于点G 连接NC DM Q为线段NC的中点 连接DQ MQ 求证 DM 2DQ 思维教练 连接BD交AC于点O 连接QO 证明OQ是 ACN的中位线 再证明 DAM DOQ 进而得 便可得结论 自主作答 2 证明 连接BD交AC于点O 连接QO 如解图 四边形ABCD是菱形 O为AC的中点 BD AC 1 BAD 30 3 4 90 又 Q为NC中点 OQ AN OQ AN 4 NAC 60 3 90 4 30 1 在Rt ADO中 又 DAM DOQ DM 2DQ 练习2 2017南充 已知菱形的周长为4 两条对角线的和为6 则菱形的面积为 A 2B C 3D 4 解析 设菱形的边长为a 两条对角线的长分别为m n 由题意可得a m n 6 因为菱形两条对角线互相垂直平分 两条对角线将菱形分成四个全等的直角三角形 每个直角三角形两条直角边的和为m n 3 两边平方得 m 2 n 2 2 m n 9 而 m 2 n 2 a2 5 所以每个直角三角形的面积为 m n 1 因此菱形的面积为4 D 三正方形性质的有关计算例3如图 正方形ABCD的边长为3 点E F分别在边AD AB上 且AE BF 1 连接BE CF交于点G 在线段EG上取一点H 使HG BG 连接DH 把 EDH沿AD边翻折得到 EDH 则点H到边DH 的距离是 解析 连接HH 交AD于点P 则AD垂直平分HH DH DH 即 DHH 是等腰三角形 正方形ABCD的边长为3 AE BF 1 A FBC 90 ABE BCF SAS ABE BCF CF BE 又 ABE GBC 90 BCG GBC 90 BG CF BF 1 BC 3 Rt BCF中 CF BG HG BG 又 CF BE HE EH HB 2 3 PH AB 即 PE PH PD Rt PDH中 DH DH HH 2 设点H到边DH 的距离是h 则 HH PD DH h h 点H到边DH 的距离是 C 练习3如图 在正方形ABCD中 边长为2的等边三角形AEF的顶点E F分别在BC和CD上 下列结论 CE CF AEB 75 BE DF EF S正方形ABCD 2 其中正确的个数为 A 1B 2C 3D 4 解析 四边形ABCD是正方形 AB AD AEF是等边三角形 AE AF 在Rt ABE和Rt ADF中 Rt ABE Rt ADF HL BE DF BC DC BC BE CD DF CE CF 说法正确 CE CF ECF是等腰直角三角形 CEF 45 AEF 60 AEB 75 说法正确