高考导航1 概率与统计是高考中相对独立的一块内容 处理问题的方式 方法体现了较高的思维含量 该类问题以应用题为载体 注重考查学生的应用意识及阅读理解能力 分类讨论与化归转化能力 2 概率问题的核心是概率计算 其中事件的互斥 对立是概率计算的核心 统计问题的核心是样本数据的获得及分析方法 重点是频率分布直方图 茎叶图和样本的数字特征 统计与概率内容相互渗透 背景新颖 热点一统计与统计案例 教材VS高考 以统计图表或文字叙述的实际问题为载体 通过对相关数据的统计分析 抽象概括 作出估计 判断 常与抽样方法 茎叶图 频率分布直方图 概率等知识交汇考查 考查学生的数据处理能力与运算能力及应用意识 例1 2016 全国 卷 如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量 单位 亿吨 的折线图 注 年份代码1 7分别对应年份2008 2014 1 由折线图看出 可用线性回归模型拟合y与t的关系 请用相关系数加以说明 2 建立y关于t的回归方程 系数精确到0 01 预测2016年我国生活垃圾无害化处理量 解 1 由折线图中数据和附注中参考数据得 因为y与t的相关系数近似为0 99 说明y与t的线性相关程度相当高 从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系 所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约为1 82亿吨 教材探源1 本题源于教材 必修3P90例 有一个同学家开了一个小卖部 他为了研究气温对热饮销售的影响 经过统计 得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表 1 画出散点图 2 从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律 3 求回归方程 4 如果某天的气温是2 预测这天卖出的热饮杯数 2 1 考题以形求数 教材是由数到形再到数 2 考题与教材都是 看图说话 回归分析预测 但考题中以具体数字 相关系数 说明拟合效果 突显数学直观性与推理论证的巧妙融合 进一步考查考生的数据处理能力与运算能力及应用意识 源于教材 高于教材 训练1 2017 全国 卷 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程 检验员每隔30min从该生产线上随机抽取一个零件 并测量其尺寸 单位 cm 下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸 解 1 由样本数据得 xi i i 1 2 16 的相关系数 由于 r 0 25 因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小 剔除离群值 即第13个数据 剩下数据的平均数为 这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为10 02 剔除第13个数据 剩下数据的样本方差为 热点二实际问题中的概率计算概率应用题侧重于古典概型 主要考查随机事件 等可能事件 互斥事件 对立事件的概率 解决简单的古典概型试题可用直接法 定义法 对于较为复杂的事件的概率 可以利用所求事件的性质将其转化为互斥事件或其对立事件的概率求解 例2 2018 石家庄调研 某出租车公司响应国家节能减排的号召 已陆续购买了140辆纯电动汽车作为运营车辆 目前我国主流纯电动汽车按续航里程数R 单位 千米 分为3类 即A类 80 R 150 B类 150 R 250 C类 R 250 该公司对这140辆车的行驶总里程进行统计 结果如下表 1 从这140辆汽车中任取一辆 求该车行驶总里程超过10万千米的概率 2 公司为了了解这些车的工作状况 决定抽取14辆车进行车况分析 按表中描述的六种情况进行分层抽样 设从C类车中抽取了n辆车 求n的值 如果从这n辆车中随机选取两辆车 求恰有一辆车行驶总里程超过10万千米的概率 5辆车中已行驶总里程不超过10万千米的车有3辆 记为a b c 5辆车中已行驶总里程超过10万千米的车有2辆 记为m n 从5辆车中随机选取两辆车 的所有选法共10种 ab ac am an bc bm bn cm cn mn 从5辆车中随机选取两辆车 恰有一辆车行驶里程超过10万千米 的选法共6种 am an bm bn cm cn 探究提高1 准确区分古典概型与几何概型 其本质区别在于试验结果是有限还是无限 2 对于较复杂的古典概型的基本事件空间 最易出现 重 和 漏 要避免这类错误 首先要正确理解题意 明确一些常见的关键词 如 至多 至少 只有 等 其次 要按一定的规律列举 训练2 某校为了了解A B两班学生寒假期间观看 中国诗词大会 的时长 分别从这两个班中随机抽取5名学生进行调查 将他们观看的时长 单位 小时 作为样本 绘制成茎叶图如图所示 图中的茎表示十位数字 叶表示个位数字 1 分别求出图中所给两组样本数据的平均值 并据此估计哪个班的学生平均观看的时间较长 2 从A班的样本数据中随机抽取一个不超过19的数据记为a 从B班的样本数据中随机抽取一个不超过21的数据记为b 求a b的概率 由此估计A班学生平均观看时间大约为17小时 由此估计B班学生平均观看时间大约为19小时 则19 17 由此估计B班学生平均观看时间较长 2 A班的样本数据不超过19的数据a有3个 分别为9 11 14 B班的样本数据中不超过21的数据b也有3个 分别为11 12 21 从A班和B班的样本数据中各随机抽取一个共有9种不同情况 分别为 9 11 9 12 9 21 11 11 11 12 11 21 14 11 14 12 14 21 其中a b的情况有 14 11 14 12 两种 热点三概率与统计的综合问题 规范解答 统计和概率知识相结合命制概率统计解答题已经是一个新的命题趋向 概率和统计初步综合解答题的主要依托点是统计图表 正确认识和使用这些图表是解决问题的关键 在此基础上掌握好样本数字特征及各类概率的计算 例3 满分12分 2018 豫北名校调研 某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况 随机访问50名职工 根据这50名职工对该部门的评分 绘制频率分布直方图 如图所示 其中样本数据分组区间为 40 50 50 60 80 90 90 100 1 求频率分布直方图中a的值 2 估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率 3 从评分在 40 60 的受访职工中 随机抽取2人 求此2人的评分都在 40 50 的概率 满分解答 1 因为 0 004 a 0 018 0 022 2 0 028 10 1 所以a 0 006 3分 得分点1 2 由所给频率分布直方图知 50名受访职工评分不低于80的频率为 0 022 0 018 10 0 4 所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0 4 5分 得分点2 3 受访职工中评分在 50 60 的有 50 0 006 10 3 人 记为A1 A2 A3 受访职工中评分在 40 50 的有 50 0 004 10 2 人 记为B1 B2 8分 得分点3 从这5名受访职工中随机抽取2人 所有可能的结果共有10种 它们是 A1 A2 A1 A3 A1 B1 A1 B2 A2 A3 A2 B1 A2 B2 A3 B1 A3 B2 B1 B2 11分 得分点4 得步骤分 步骤规范 求解完整 解题步骤常见的失分点 第 2 问中 不能用频率估计概率 第 3 问中步骤不完整 没有指出 基本事件总数 与 事件M 包含的基本事件个数 或者只指出事件个数 没有一一列举10个基本事件及事件M包含的基本事件 导致扣3分或2分 得关键分 如第 1 问中 正确求得a 0 006 第 3 问中列出10个基本事件 错写或多写 少写均不得分 得计算分 如第 1 2 问中 要理清频率直方图的意义 计算正确 否则导致后续皆错大量失分 第 3 问中利用 频数 样本容量 频率之间的关系 求得各区间的人数 准确列出基本事件 正确计算概率 第一步 由各矩形的面积之和等于1 求a的值 第二步 由样本频率分布估计概率 第三步 设出字母 列出基本事件总数及所求事件M所包含的基本事件 第四步 利用古典概型概率公式计算 第五步 反思回顾 查看关键点 易错点和答题规范 训练3 2018 江西九校联考 某校为了解学生对正在进行的一项教学改革的态度 从500名高一学生和400名高二学生中按分层抽样的方式抽取了45名学生进行问卷调查 结果可以分成以下三类 支持 反对 无所谓 调查结果统计如下 1 求出表中的x y的值 从反对的同学中随机选取2人进一步了解情况 求恰好高一 高二各1人的概率 2 根据表格统计的数据 完成下面的2 2列联表 并判断是否有90 的把握认为持支持态度与就读年级有关 不支持包括无所谓和反对 假设高一反对的同学编号为A1 A2 高二反对的同学编号为B1 B2 B3 B4 则选取两人的所有结果为 A1 A2 A1 B1 A1 B2 A1 B3 A1 B4 A2 B1 A2 B2 A2 B3 A2 B4 B1 B2 B1 B3 B1 B4 B2 B3 B2 B4 B3 B4 共15种情况