第5节古典概型 最新考纲1 理解古典概型及其概率计算公式 2 会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率 1 基本事件的特点 1 任何两个基本事件是的 2 任何事件 除不可能事件 都可以表示成基本事件的和 2 古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型 简称古典概型 1 试验中所有可能出现的基本事件只有 2 每个基本事件出现的可能性 知识梳理 互斥 有限个 相等 常用结论与微点提醒 1 古典概型中的基本事件都是互斥的 确定基本事件的方法主要有列举法 列表法与树状图法 2 概率的一般加法公式P A B P A P B P A B 中 易忽视只有当A B 即A B互斥时 P A B P A P B 此时P A B 0 1 思考辨析 在括号内打 或 答案 1 2 3 4 诊断自测 答案A 答案C 解析 M 1 M 2 M 3 M 4 M 5 I 1 I 2 I 3 I 4 I 5 N 1 N 2 N 3 N 4 N 5 事件总数有15种 答案C 5 2018 茂名调研 在 1 3 5 和 2 4 两个集合中各取一个数组成一个两位数 则这个数能被4整除的概率是 考点一简单古典概型的概率 2 从5张卡片中随机抽取1张 放回后再随机抽取1张的情况如图 答案 1 C 2 D 规律方法1 计算古典概型事件的概率可分三步 1 计算基本事件总个数n 2 计算事件A所包含的基本事件的个数m 3 代入公式求出概率P 2 用列举法写出所有基本事件时 可借助 树状图 列举 以便做到不重 不漏 解析 1 从5支彩笔中任取2支不同颜色彩笔的取法有红黄 红蓝 红绿 红紫 黄蓝 黄绿 黄紫 蓝绿 蓝紫 绿紫 共10种 其中取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有红黄 红蓝 红绿 红紫 共4种 2 将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次 共有36种不同结果 考点二应用古典概型计算较复杂事件的概率 例2 2016 山东卷 某儿童乐园在 六一 儿童节推出了一项趣味活动 参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次 每次转动后 待转盘停止转动时 记录指针所指区域中的数 设两次记录的数分别为x y 奖励规则如下 若xy 3 则奖励玩具一个 若xy 8则奖励水杯一个 其余情况奖励饮料一瓶 假设转盘质地均匀 四个区域划分均匀 小亮准备参加此项活动 1 求小亮获得玩具的概率 2 请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小 并说明理由 解用数对 x y 表示儿童参加活动先后记录的数 则基本事件空间 与点集S x y x N y N 1 x 4 1 y 4 一一对应 得基本事件总数n 16 1 记 xy 3 为事件A 则事件A包含的基本事件数共5个 即 1 1 1 2 1 3 2 1 3 1 2 记 xy 8 为事件B 3 xy 8 为事件C 则事件B包含的基本事件数共6个 即 2 4 3 3 3 4 4 2 4 3 4 4 事件C包含的基本事件数共5个 即 1 4 2 2 2 3 3 2 4 1 所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率 规律方法1 求古典概型的概率的关键是正确列举出基本事件的总数和待求事件包含的基本事件数 2 三点注意 1 对于较复杂的题目 列出事件数时要正确分类 分类时应不重不漏 2 当直接求解有困难时 可考虑转化为互斥事件 对立事件的概率 借助概率的加法公式计算 3 本题中的基本事件 x y 是有序的 1 2 与 2 1 表示不同的基本事件 1 求f x 在区间 1 上是减函数的概率 2 从f x 中随机抽取两个 求它们在 1 f 1 处的切线互相平行的概率 事件A发生时 有 2 1 4 1 4 3 共3种情况 解 1 依题意 数对 a b 所有取值为 2 1 2 3 4 1 4 3 共4种情况 记 f x 在区间 1 上是减函数 为事件A 2 由 1 可知 函数f x 共有4种可能 从中随机抽取两个 有6种抽法 函数f x 在 1 f 1 处的切线的斜率为f 1 a b 这两个函数中的a与b之和应该相等 则只有 2 3 4 1 这1组满足 考点三概率与统计的综合问题 例3 2018 合肥质检 一企业从某条生产线上随机抽取100件产品 测量这些产品的某项技术指标值x 得到如下的频率分布表 1 作出样本的频率分布直方图 并估计该技术指标值x的平均数和众数 2 若x 13或x 21 则该产品不合格 现从不合格的产品中随机抽取2件 求抽取的2件产品中技术指标值小于13的产品恰有1件的概率 解 1 频率分布直方图为 由频率分布直方图 x 17 19 时 矩形面积最大 因此估计众数为18 2 记技术指标值x 13的2件不合格产品为a1 a2 技术指标值x 21的4件不合格产品为b1 b2 b3 b4 则从这6件不合格产品中随机抽取2件包含如下基本事件 a1 a2 a1 b1 a1 b2 a1 b3 a1 b4 a2 b1 a2 b2 a2 b3 a2 b4 b1 b2 b1 b3 b1 b4 b2 b3 b2 b4 b3 b4 共15个基本事件 记抽取的2件产品中技术指标值小于13的产品恰有1件为事件M 则事件M包含如下基本事件 a1 b1 a1 b2 a1 b3 a1 b4 a2 b1 a2 b2 a2 b3 a2 b4 共8个基本事件 规律方法1 概率与统计的综合题一般是先给出样本数据或样本数据的分布等 在解题中首先要处理好数据 如数据的个数 数据的分布规律等 即把数据分析清楚 然后再根据题目要求进行相关计算 2 在求解该类问题要注意两点 1 明确频率与概率的关系 频率可近似替代概率 2 此类问题中的概率模型多是古典概型 在求解时 要明确基本事件的构成 训练3 海关对同时从A B C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测 从各地区进口此种商品的数量 单位 件 如表所示 工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测 1 求这6件样品来自A B C各地区商品的数量 2 若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测 求这2件商品来自相同地区的概率 所以样本中包含三个地区的个体数量分别是 所以A B C三个地区的商品被选取的件数分别为1 3 2