第8节条件概率与事件的独立性 最新考纲1 了解条件概率和两个事件相互独立的概念 2 理解n次独立重复试验的模型及二项分布 能解决一些简单的实际问题 3 了解正态密度曲线的特点及曲线所表示的意义 并进行简单应用 知识梳理 1 条件概率及其性质 事件A发生 事件B发生 P B A P A A B 2 事件的独立性 1 相互独立的定义 事件A是否发生对事件B发生的概率 即 这时 称两个事件A B相互独立 并把这两个事件叫做相互独立事件 2 概率公式 没有影响 P B A P B P A P B P A1 P A2 P An 3 独立重复试验与二项分布 1 独立重复试验 定义 在 条件下 做n次试验 各次试验的结果 那么一般就称它们为n次独立重复试验 概率公式 在一次试验中事件A发生的概率为p 则n次独立重复试验中 事件A恰好发生k次的概率为Pn k k 0 1 2 n 相同的 重复地 相互独立 2 二项分布 在n次独立重复试验中 事件A发生的次数设为X 事件A不发生的概率为q 1 p 则n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率是P X k 其中k 0 1 2 n 于是X的分布列 此时称离散型随机变量X服从参数为n p的二项分布 记作 X B n p 上方 x 当 一定时 曲线的形状由 确定 曲线越 瘦高 表示总体的分布越集中 曲线越 矮胖 表示总体的分布越分散 3 正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 P X P 2 X 2 P 3 X 3 x 越小 越大 0 6826 0 9544 0 9974 常用结论与微点提醒 1 运用公式P AB P A P B 时一定要注意公式成立的条件 只有当事件A B相互独立时 公式才成立 2 注意二项分布与超几何分布的联系与区别 有放回抽取问题对应二项分布 不放回抽取问题对应超几何分布 当总体容量很大时 超几何分布可近似为二项分布来处理 诊断自测 解析对于 1 相互独立事件的发生互不影响 而互斥事件是不能同时发生 故 1 错 对于 2 只有当A B为相互独立事件时 公式P AB P A P B 才成立 对于 4 取到红球的个数X服从二项分布 答案 1 2 3 4 答案B 3 2018 烟台调研 设袋中有大小相同的4个红球和2个白球 若从中有放回地依次取出一个球 则6次取球中取出2个红球的概率为 5 已知随机变量X服从正态分布N 0 82 若P X 2 0 023 则P 2 X 2 解析因为 0 所以P X 2 P X 2 0 023 所以P 2 X 2 1 2 0 023 0 954 答案0 954 答案 1 B 2 C 答案B 规律方法 1 求解该类问题在于正确分析所求事件的构成 将其转化为彼此互斥事件的和或相互独立事件的积 然后利用相关公式进行计算 2 求相互独立事件同时发生的概率的主要方法 利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解 正面计算较繁 如求用 至少 表述的事件的概率 或难以入手时 可从其对立事件入手计算 训练2 某次知识竞赛规则如下 在主办方预设的5个问题中 选手若能连续正确回答出两个问题 即停止答题 晋级下一轮 假设某选手正确回答每个问题的概率都是0 8 且每个问题的回答结果相互独立 则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于 解析记 该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮 为事件A 由题意 若该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮 必有第二个问题回答错误 第三 四个回答正确 第一个问题可对可错 故P A 1 0 2 0 8 0 8 0 128 答案0 128 考点三独立重复试验与二项分布 易错警示 例3 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况 随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量 单位 克 质量的分组区间为 490 495 495 500 510 515 由此得到样本的频率分布直方图 如下图 1 根据频率分布直方图 求质量超过505克的产品数量 2 在上述抽取的40件产品中任取2件 设X为质量超过505克的产品数量 求X的分布列 3 从该流水线上任取2件产品 设Y为质量超过505克的产品数量 求Y的分布列 X的分布列为 Y的分布列为 规律方法利用独立重复试验概率公式可以简化求概率的过程 但需要注意检查该概率模型是否满足公式P X k Cpk 1 p n k的三个条件 1 在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p 2 n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验 而且各次试验的结果是相互独立的 3 该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率 易错警示1 对于 超几何分布对应的抽取问题是不放回抽取 各次抽取不独立 而二项分布对应的抽取问题是有放回抽取 各次抽取是独立的 故 处不要误作二项分布来处理 对于 当超几何分布所对应的总体数量很大时 可近似为二项分布来处理 这一点不易想到 2 这两个分布列的期望是相等的 请思考这是否是巧合呢 训练3 2018 河北 五个一 名校联盟二模 空气质量指数 AirQualityIndex 简称AQI 是定量描述空气质量状况的指数 空气质量按照AQI大小分为六级 0 50为优 51 100为良 101 150为轻度污染 151 200为中度污染 201 300为重度污染 300以上为严重污染 一环保人士记录去年某地六月10天的AQI的茎叶图如图 1 利用该样本估计该地六月空气质量为优良 AQI 100 的天数 2 将频率视为概率 从六月中随机抽取3天 记三天中空气质量为优良的天数为 求 的分布列 考点四正态分布 例4 1 2018 郑州模拟 已知随机变量 服从正态分布N 2 2 且P 4 0 8 则P 0 4 A 0 6B 0 4C 0 3D 0 2 2 在如图所示的正方形中随机投掷10000个点 则落入阴影部分 曲线C为正态分布N 1 1 的密度曲线 的点的个数的估计值为 附 若X N 2 则P X 0 6826 P 2 X 2 0 9544 A 1193B 1359C 2718D 3413 解析 1 因为随机变量 服从正态分布N 2 2 2 得对称轴为x 2 P 4 0 8 P 4 P 0 0 2 P 0 4 0 6 答案 1 A 2 B 规律方法 1 利用3 原则求概率问题时 要注意把给出的区间或范围与正态变量的 进行对比联系 确定它们属于 2 2 3 3 中的哪一个 2 利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题 涉及的知识主要是正态曲线关于直线x 对称 及曲线与x轴之间的面积为1 注意下面两个结论的活用 P X a 1 P X a P X P X 训练4 已知某批零件的长度误差 单位 毫米 服从正态分布N 0 32 从中随机取一件 其长度误差落在区间 3 6 内的概率为 附 若随机变量 服从正态分布N 2 则P 68 26 P 2 2 95 44 A 4 56 B 13 59 C 27 18 D 31 74