8 7立体几何中的向量方法 一 证明平行与垂直 第八章立体几何与空间向量 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 直线的方向向量与平面的法向量的确定 1 直线的方向向量 在直线上任取一向量作为它的方向向量 2 平面的法向量可利用方程组求出 设a b是平面 内两不共线向量 n为平面 的法向量 则求法向量的方程组为2 用向量证明空间中的平行关系 1 设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2 则l1 l2 或l1与l2重合 2 设直线l的方向向量为v 与平面 共面的两个不共线向量v1和v2 则l 或l 知识梳理 非零 v1 v2 存在两个实数x y 使v xv1 yv2 3 设直线l的方向向量为v 平面 的法向量为u 则l 或l 4 设平面 和 的法向量分别为u1 u2 则 3 用向量证明空间中的垂直关系 1 设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2 则l1 l2 2 设直线l的方向向量为v 平面 的法向量为u 则l 3 设平面 和 的法向量分别为u1和u2 则 v u u1 u2 v1 v2 v1 v2 0 v u u1 u2 0 u1 u2 1 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 直线的方向向量是唯一确定的 2 平面的单位法向量是唯一确定的 3 若两平面的法向量平行 则两平面平行 4 若两直线的方向向量不平行 则两直线不平行 5 若a b 则a所在直线与b所在直线平行 6 若空间向量a平行于平面 则a所在直线与平面 平行 题组一思考辨析 基础自测 1 2 4 5 6 3 2 P104T2 设u v分别是平面 的法向量 u 2 2 5 当v 3 2 2 时 与 的位置关系为 当v 4 4 10 时 与 的位置关系为 题组二教材改编 1 2 4 5 6 解析 3 答案 解析当v 3 2 2 时 u v 2 2 5 3 2 2 0 当v 4 4 10 时 v 2u 1 2 4 5 6 答案 3 P111T3 如图所示 在正方体ABCD A1B1C1D1中 O是底面正方形ABCD的中心 M是D1D的中点 N是A1B1的中点 则直线ON AM的位置关系是 3 垂直 解析 1 2 4 5 6 ON与AM垂直 3 题组三易错自纠4 已知A 1 0 0 B 0 1 0 C 0 0 1 则下列向量是平面ABC法向量的是 解析 1 2 4 5 6 答案 3 解析设n x y z 为平面ABC的法向量 x y z 故选C 解析由a n知 n a 则有l 故选B 5 直线l的方向向量a 1 3 5 平面 的法向量n 1 3 5 则有A l B l C l与 斜交D l 或l 1 2 4 5 6 答案 3 解析 6 已知平面 的法向量分别为n1 2 3 5 n2 3 1 4 则A B C 相交但不垂直D 以上均不对 解析 1 2 4 5 6 3 解析 n1 n2 且n1 n2 2 3 3 1 5 4 23 0 既不平行 也不垂直 答案 题型分类深度剖析 典例如图所示 平面PAD 平面ABCD ABCD为正方形 PAD是直角三角形 且PA AD 2 E F G分别是线段PA PD CD的中点 求证 PB 平面EFG 题型一利用空间向量证明平行问题 师生共研 证明 证明 平面PAD 平面ABCD ABCD为正方形 PAD是直角三角形 且PA AD AB AP AD两两垂直 以A为坐标原点 AB AD AP所在直线分别为x轴 y轴 z轴 建立如图所示的空间直角坐标系Axyz 则A 0 0 0 B 2 0 0 C 2 2 0 D 0 2 0 P 0 0 2 E 0 0 1 F 0 1 1 G 1 2 0 即 2 0 2 s 0 1 0 t 1 1 1 PB 平面EFG PB 平面EFG 若本例中条件不变 证明平面EFG 平面PBC 证明 又 EF 平面PBC BC 平面PBC EF 平面PBC 同理可证GF PC 从而得出GF 平面PBC 又EF GF F EF GF 平面EFG 平面EFG 平面PBC 1 恰当建立空间直角坐标系 准确表示各点与相关向量的坐标 是运用向量法证明平行和垂直的关键 2 证明直线与平面平行 只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零 或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面 或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行 然后说明直线在平面外即可 这样就把几何的证明问题转化为向量运算 跟踪训练如图 在四面体A BCD中 AD 平面BCD BC CD AD 2 BD 2 M是AD的中点 P是BM的中点 点Q在线段AC上 且AQ 3QC 证明 PQ 平面BCD 证明 证明方法一如图 取BD的中点O 以O为原点 OD OP所在直线分别为y z轴的正半轴 建立空间直角坐标系Oxyz 设点C的坐标为 x0 y0 0 又PQ 平面BCD 所以PQ 平面BCD 方法二在线段CD上取点F 使得DF 3FC 连接OF 同方法一建立空间直角坐标系 写出点A B C的坐标 设点C坐标为 x0 y0 0 又PQ 平面BCD OF 平面BCD 所以PQ 平面BCD 命题点1证线面垂直典例如图所示 正三棱柱 底面为正三角形的直三棱柱 ABC A1B1C1的所有棱长都为2 D为CC1的中点 求证 AB1 平面A1BD 证明 题型二利用空间向量证明垂直问题 多维探究 证明方法一设平面A1BD内的任意一条直线m的方向向量为m 由共面向量定理 则存在实数 显然它们不共面 并且 a b c 2 a b a c 0 b c 2 以它们为空间的一个基底 方法二取BC的中点O 连接AO 因为 ABC为正三角形 所以AO BC 因为在正三棱柱ABC A1B1C1中 平面ABC 平面BCC1B1 且平面ABC 平面BCC1B1 BC 所以AO 平面BCC1B1 取B1C1的中点O1 以O为原点 分别以OB OO1 OA所在直线为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 如图所示 故AB1 平面A1BD 命题点2证面面垂直典例如图 在四棱锥P ABCD中 底面ABCD是边长为a的正方形 侧面PAD 底面ABCD 且PA PD AD 设E F分别为PC BD的中点 1 求证 EF 平面PAD 证明 证明如图 取AD的中点O 连接OP OF 因为PA PD 所以PO AD 因为侧面PAD 底面ABCD 平面PAD 平面ABCD AD PO 平面PAD 所以PO 平面ABCD 又O F分别为AD BD的中点 所以OF AB 又ABCD是正方形 所以OF AD 以O为原点 OA OF OP所在直线分别为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 又因为EF 平面PAD 所以EF 平面PAD 证明 又PA PD PD CD D PD CD 平面PDC 所以PA 平面PDC 又PA 平面PAB 所以平面PAB 平面PDC 2 求证 平面PAB 平面PDC 证明垂直问题的方法 1 利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系 准确写出相关点的坐标 从而将几何证明转化为向量运算 其中灵活建系是解题的关键 2 其一证明直线与直线垂直 只需要证明两条直线的方向向量垂直 其二证明线面垂直 只需证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可 当然 也可证直线的方向向量与平面的法向量平行 其三证明面面垂直 证明两平面的法向量互相垂直 利用面面垂直的判定定理 只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可 跟踪训练如图所示 已知四棱锥P ABCD的底面是直角梯形 ABC BCD 90 AB BC PB PC 2CD 侧面PBC 底面ABCD 证明 1 PA BD 证明 证明取BC的中点O 连接PO 平面PBC 底面ABCD PBC为等边三角形 平面PBC 底面ABCD BC PO 平面PBC PO 底面ABCD 以BC的中点O为坐标原点 以BC所在直线为x轴 过点O与AB平行的直线为y轴 OP所在直线为z轴 建立空间直角坐标系 如图所示 2 平面PAD 平面PAB 证明 又 PA PB P PA PB 平面PAB DM 平面PAB DM 平面PAD 平面PAD 平面PAB 题型三利用空间向量解决探索性问题 师生共研 典例 2018 桂林模拟 如图 棱柱ABCD A1B1C1D1的所有棱长都等于2 ABC和 A1AC均为60 平面AA1C1C 平面ABCD 1 求证 BD AA1 证明 证明设BD与AC交于点O 则BD AC 连接A1O 在 AA1O中 AA1 2 AO 1 A1AO 60 由于平面AA1C1C 平面ABCD 且平面AA1C1C 平面ABCD AC A1O 平面AA1C1C A1O 平面ABCD 以OB OC OA1所在直线分别为x轴 y轴 z轴 建立如图所示的空间直角坐标系 2 在直线CC1上是否存在点P 使BP 平面DA1C1 若存在 求出点P的位置 若不存在 请说明理由 解答 解假设在直线CC1上存在点P 使BP 平面DA1C1 取n3 1 0 1 因为BP 平面DA1C1 即点P在C1C的延长线上 且C1C CP 对于 是否存在 型问题的探索方式有两种 一种是根据条件作出判断 再进一步论证 另一种是利用空间向量 先设出假设存在点的坐标 再根据条件求该点的坐标 即找到 存在点 若该点坐标不能求出 或有矛盾 则判定 不存在 跟踪训练 2016 北京 如图 在四棱锥PABCD中 平面PAD 平面ABCD PA PD PA PD AB AD AB 1 AD 2 AC CD 1 求证 PD 平面PAB 证明 证明 平面PAD 平面ABCD 平面PAD 平面ABCD AD AB AD AB 平面ABCD AB 平面PAD PD 平面PAD AB PD 又PA PD PA AB A 且PA PB 平面PAB PD 平面PAB 2 求直线PB与平面PCD所成角的正弦值 解答 解取AD的中点O 连接CO PO PA PD PO AD 又 PO 平面PAD 平面PAD 平面ABCD 平面PAD 平面ABCD AD PO 平面ABCD CO 平面ABCD PO CO 又 AC CD CO AD 以O为原点 OC OA OP所在直线分别为x轴 y轴 z轴 建立如图所示空间直角坐标系 易知P 0 0 1 B 1 1 0 D 0 1 0 C 2 0 0 设n x0 y0 1 为平面PCD的一个法向量 设PB与平面PCD的夹角为 BM 平面PCD BM 平面PCD 解答 典例 12分 如图1所示 正 ABC的边长为4 CD是AB边上的高 E F分别是AC和BC边的中点 现将 ABC沿CD翻折成直二面角A DC B 如图2所示 1 试判断直线AB与平面DEF的位置关系 并说明理由 2 求二面角E DF C的余弦值 3 在线段BC上是否存在一点P 使AP DE 证明你的结论 利用向量法解决立体几何问题 思想方法 思想方法指导 规范解答 思想方法指导对于较复杂的立体几何问题可采用向量法 1 用向量法解决立体几何问题 是空间向量的一个具体应用 体现了向量的工具性 这种方法可把复杂的推理证明 辅助线的作法转化为空间向量的运算 降低了空间想象演绎推理的难度 体现了由 形 转 数 的转化思想 2 两种思路 选好基底 用向量表示出几何量 利用空间向量有关定理与向量的线性运算进行判断 建立空间直角坐标系 进行向量的坐标运算 根据运算结果的几何意义解释相关问题 规范解答 解 1 AB 平面DEF 理由如下 在 ABC中 由E F分别是AC BC中点 得EF AB 又AB 平面DEF EF 平面DEF AB 平面DEF 1分 2 以D为原点 分别以DB DC DA所在直线为x轴 y轴 z轴 建立如图所示的空间直角坐标系 设平面EDF的法向量为n x y z 课时作业 1 已知平面 内有一点M 1 1 2 平面 的一个法向量为n 6 3 6 则下列点P中 在平面 内的是A P 2 3 3 B P 2 0 1 C P 4 4 0 D P 3 3 4 基础保分