第九章 平面解析几何第一节 直线的倾斜角、斜率与直线的方程一、基础知识1直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角. (2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.(3)范围：直线l倾斜角的取值范围是0，)2斜率公式(1)定义式：直线l的倾斜角为，则斜率ktan .(2)坐标式：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1x2，则l的斜率 k. 3直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式yy0k(xx0)不含垂直于x轴的直线斜截式ykxb不含垂直于x轴的直线两点式不含直线xx1(x1x2)和直线yy1(y1y2)截距式1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式AxByC0，A2B20平面内所有直线都适用二、常用结论特殊直线的方程(1)直线过点P1(x1，y1)，垂直于x轴的方程为xx1；(2)直线过点P1(x1，y1)，垂直于y轴的方程为yy1；(3)y轴的方程为x0；(4)x轴的方程为y0. 典例(1)直线2xcos y30的倾斜角的取值范围是()A.B.C. D.(2)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为_解析(1)直线2xcos y30的斜率k2cos ，因为，所以cos ，因此k2cos 1， 设直线的倾斜角为，则有tan 1， 又0，)，所以，即倾斜角的取值范围是.(2) 设PA与PB的倾斜角分别为，直线PA的斜率是kAP1，直线PB的斜率是kBP，当直线l由PA变化到与y轴平行的位置PC时，它的倾斜角由增至90，斜率的取值范围为1，)当直线l由PC变化到PB的位置时，它的倾斜角由90增至，斜率的变化范围是(， 故直线l斜率的取值范围是(， 1，)答案(1)B(2)(， 1，)变透练清1.若将本例(1)中的条件变为：平面上有相异两点A(cos ，sin2 )，B(0,1)，则直线AB的倾斜角的取值范围是_解析：由题意知cos 0，则斜率ktan cos 1,0)(0,1，所以直线AB的倾斜角的取值范围是.答案：2.若将本例(2)中P(1,0)改为P(1,0)，其他条件不变，则直线l斜率的取值范围为_解析：设直线l的斜率为k，则直线l的方程为yk(x1)，即kxyk0.A，B两点在直线l的两侧或其中一点在直线l上，(2k1k)(k)0，即(3k1)(k)0，解得k.即直线l的斜率的取值范围是.答案：3若点A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线，则a的值为_解析：因为kAC1，kABa3.由于A，B，C三点共线，所以a31，即a4.答案：4 典例(1)若直线经过点A(5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍，则该直线的方程为_(2)若直线经过点A(，3)，且倾斜角为直线xy10的倾斜角的一半，则该直线的方程为_(3)在ABC中，已知A(5，2)，B(7,3)，且AC的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上，则直线MN的方程为_解析(1)当横截距、纵截距均为零时，设所求的直线方程为ykx，将(5,2)代入ykx中，得k，此时，直线方程为yx，即2x5y0.当横截距、纵截距都不为零时，设所求直线方程为1，将(5,2)代入所设方程，解得a，此时，直线方程为x2y10.综上所述，所求直线方程为x2y10或2x5y0.(2)由xy10得此直线的斜率为，所以倾斜角为120，从而所求直线的倾斜角为60，故所求直线的斜率为.又直线过点A(，3)，所以所求直线方程为y3(x)，即xy60.(3)设C(x0，y0)，则M，N.因为点M在y轴上，所以0，所以x05.因为点N在x轴上，所以0，所以y03，即C(5，3)，所以M，N(1,0)，所以直线MN的方程为1，即5x2y50.答案(1)x2y10或2x5y0(2)xy60(3)5x2y50题组训练1过点(1,2)，倾斜角的正弦值是的直线方程是_解析：由题知，倾斜角为或，所以斜率为1或1，直线方程为y2x1或y2(x1)，即xy10或xy30.答案：xy10或xy302过点P(6，2)，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程为_解析：设直线方程的截距式为1，则1，解得a2或a1，则直线的方程是1或1，即2x3y60或x2y20.答案：2x3y60或x2y20 典例已知直线l过点M(2,1)，且与x轴、y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点，求当|取得最小值时直线l的方程解设A(a,0)，B(0，b)，则a0，b0，直线l的方程为1，所以1.| |(a2，1)(2，b1)2(a2)b12ab5(2ab)54，当且仅当ab3时取等号，此时直线l的方程为xy30.解题技法与直线方程有关问题的常见类型及解题策略(1)求解与直线方程有关的最值问题先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值(2)求直线方程弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程(3)求参数值或范围注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的性质或基本不等式求解 题组训练1若直线axbyab(a0，b0)过点(1,1)，则该直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为()A1B2C4 D8解析：选C直线axbyab(a0，b0)过点(1,1)，abab，即1，ab(ab)222 4，当且仅当ab2时上式等号成立直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为4.2已知直线l：xmym0上存在点M满足与A(1,0)，B(1,0)两点连线的斜率kMA与kMB之积为3，则实数m的取值范围是()A， B.C.D.解析：选C设M(x，y)，由kMAkMB3，得3，即y23x23.联立得x2x60(m0)，则2240，即m2，解得m或m.实数m的取值范围是.1(2019合肥模拟)直线l：xsin 30ycos 15010的斜率是()A.B.C D解析：选A设直线l的斜率为k，则k.2倾斜角为120，在x轴上的截距为1的直线方程是()A.xy10 B.xy0C.xy0 D.xy0解析：选D由于倾斜角为120，故斜率k.又直线过点(1,0)，所以直线方程为y(x1)，即xy0.3已知ABC的三个顶点坐标为A(1,2)，B(3,6)，C(5,2)，M为AB的中点，N为AC的中点，则中位线MN所在直线的方程为()A2xy120 B2xy120C2xy80 D2xy80解析：选C由题知M(2,4)，N(3,2)，则中位线MN所在直线的方程为，整理得2xy80.4方程yax表示的直线可能是()解析：选C当a0时，直线的斜率ka0，在y轴上的截距b0，各选项都不符合此条件；当a0时，直线的斜率ka0，在y轴上的截距b0，只有选项C符合此条件故选C.5在等腰三角形MON中，MOMN，点O(0,0)，M(1,3)，点N在x轴的负半轴上，则直线MN的方程为()A3xy60 B3xy60C3xy60 D3xy60解析：选C因为MOMN，所以直线MN的斜率与直线MO的斜率互为相反数，所以kMNkMO3，所以直线MN的方程为y33(x1)，即3xy60，选C.6若直线mxny30在y轴上的截距为3，且它的倾斜角是直线xy3的倾斜角的2倍，则()Am，n1 Bm，n3Cm，n3 Dm，n1解析：选D对于直线mxny30，令x0得y，即3，n1.因为xy3的斜率为60，直线mxny30的倾斜角是直线xy3的2倍，所以直线mxny30的倾斜角为120，即，m.7当0k时，直线l1：kxyk1与直线l2：kyx2k的交点在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：选B由得又0k，x0，故直线l1：kxyk1与直线l2：kyx2k的交点在第二象限8若直线l：kxy24k0(kR)交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，则当AOB的面积取最小值时直线l的方程为()Ax2y40 Bx2y80C2xy40 D2xy80解析：选B由l的方程，得A，B(0,24k)依题意得解得k0.因为S|OA|OB|24k|(2816)16，当且仅当16k，即k时等号成立此时l的方程为x2y80.9以A(1,1)，B(3,2)，C(5,4)为顶点的ABC，其边AB上的高所在的直线方程是_解析：由A，B两点得kAB，则边AB上的高所在直线的斜率为2，故所求直线方程是y42(x5)，即2xy140.答案：2xy14010已知直线l过点(1,0)，且倾斜角为直线l0：x2y20的倾斜角的2倍，则直线l的方程为_解析：由题意可设直线l0，l的倾斜角分别为，2，因为直线l0：x2y20的斜率为，则tan ，所以直线l的斜率ktan 2，所以由点斜式可得直线l的方程为y0(x1)，即4x3y40.答案：4x3y4011直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(3，3)，则其斜率的取值范围是_