题海无涯，备战中考专题04 勾股定理在几何最短路径问题中的应用最短路线问题通常是以“平面内连结两点的线中,线段最短”为原则引申出来的.人们在生产、生活实践中,常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题.对于数学中的最短路线问题可以分为两大类：第一类为在同一平面内；第二类为空间几何体中的最短路线问题,对于平面内的最短路线问题可先画出方案图,然后确定最短距离及路径图。对于几何题内问题的关键是将立体图形转化为平面问题求解,然后构造直角三角形,利用勾股定理求解.最短路径问题在中学教学中是个难点,本文结合中学数学中常见的几类最短路程问题,用实例从知识的趣味性、实际生活中的应用等方面探讨了最短路线的简单应用。希望能给学生培养空间想象能力及动手动脑探究数学问题的思想、学会“转化思想”的方法,找出问题的实质,达到解决问题的目的。这样有助于学生充分去体会数学中的有趣知识,从兴趣出发学到有用的数学。一、知识点概述 来源:Zxxk.Com平面图形中最短路线的基本知识点：（1）两点之间,线段最短；（2）垂线段最短.二、方法介绍 方法总结：解决立体图形中最短距离问题的关键是把立体图形平面化,即把立体图形沿着某一条线展开,转化为平面问题后,借助“两点之间,线段最短”或“垂线段最短”,进而构造直角三角形,借助勾股定理求解. 来源:学科网平面图形的最短路径通常是作轴对称变换,转化为“两点之间线段最短”的模型来解决问题.常见的有圆柱体的展开、长方体的展开、楼梯的展开、绕绳的展开等等,下面我们就通过一些典型的例题对这些问题逐一讲解. 二、典型例题分析 题1. 如图1-1有一圆柱体如图,高8cm,底面半径5cm,A处有一蚂蚁,若蚂蚁欲爬行到C处,求蚂蚁爬行的最短距离 .（取3）图1-1题2. 如图2-1,是一个三级台阶,它的每一级的长宽和高分别为20、3、2,A和B是这个台阶两个相对的端点,A点有一只蚂蚁,想到B点去吃可口的食物,则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是 图2-1题3. 如图3-1是一个长方体,一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B点,那么沿哪条路最近,最短的路程是多少？（长方体的长2cm、宽为1cm、高为4cm）来源:学_科_网题4. 如图4-1,等边ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AB边上一点,若AE=2,求EM+BM的最小值图4-1题5. 如图5-1所示一棱长为3cm的正方体,把所有的面均分成33个小正方形其边长都为1cm,假设一只蚂蚁每秒爬行2cm,则它从下底面点A沿表面爬行至侧面的B点,最少要用 秒钟图5-1来源:学科网ZXXK题6. 如图6-1,一只蚂蚁沿着图示的路线从圆柱高AA1的端点A到达A1,若圆柱底面半径为,高为5,则蚂蚁爬行的最短距离为 图6-1题7. 我国古代有这样一道数学问题：枯木一根直立地上高二丈,周三尺,有葛藤自根缠绕而上,五周而达其顶,问葛藤之长几何?题意是:如图7-1所示,把枯木看作一个圆柱体,因一丈是十尺,则该圆柱的高为20尺,底面周长为3尺,有葛藤自点A处缠绕而上,绕五周后其末端恰好到达点B处,则问题中葛藤的最短长度是尺.图7-1题8. 如图8-1所示,将一根长24cm的筷子,置于底面直径为5cm,高为12cm的圆柱形水杯中,设筷子露在杯子外面的长度为h cm,则h的取值范围是 来源:学科网ZXXK图8-1题9. 如图9-1,是一个供滑板爱好者使用的U型池,该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成,中间可供滑行的部分的截面是半径为10 m的半圆,其边缘ABCD30 m. 小明要在AB上选取一点E,能够使他从点D滑到点E再到点C的滑行距离最短,则他滑行的最短距离为_ m(取3)图9-1题10. 如图10-1,已知AB=20,DAAB于点A,CBAB于点B,DA=10,CB=5（1）在AB上找一点E,使EC=ED,并求出EA的长；（2）在AB上找一点F,使FC+FD最小,并求出这个最小值图10-1题11. 如图11-1,在ABC中,C=90,BAC=30,AB=,AD平分BAC,点P、Q分别是AB、AD边上的动点,则PQ+BQ的最小值是题11-1胸有成竹，战胜中考