题海无涯，备战中考专题25 圆的问题 专题知识回顾 一、与圆有关的概念与规律1圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心,定长称为半径。圆的半径或直径决定圆的大小,圆心决定圆的位置。 2.圆的性质：（1）圆具有旋转不变性；（2）圆具有轴对称性；（3）圆具有中心对称性。3.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧。4推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧5圆心角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。圆心角的度数等于它所对弧的度数。6在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦心距也相等。 在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么他们所对的圆心角相等,所对的弦相等,所对的弦心距也相等。 在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么他们所对的圆心角相等,所对的弧相等,所对的弦心距也相等。 7.圆周角：顶点在圆周上,并且两边分别与圆相交的角叫做圆周角。8.在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半9半圆（或直径）所对的圆周角是直角,90的圆周角所对的弦是直径10. 点和圆的位置关系： 点在圆内点到圆心的距离小于半径 点在圆上点到圆心的距离等于半径 点在圆外点到圆心的距离大于半径11. 过三点的圆：不在同一直线上的三个点确定一个圆。12. 外接圆和外心：经过三角形的三个顶点可以做一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆。外接圆的圆心,叫做三角形的外心。外心是三角形三条边垂直平分线的交点。外心到三角形三个顶点的距离相等。13若四边形的四个顶点都在同一个圆上,这个四边形叫做圆内接四边形,这个圆叫做这个四边形的外接圆。14圆内接四边形的特征： 圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形任意一个外角等于它的内对角。15.直线与圆有3种位置关系：如果O的半径为r,圆心O到直线的距离为d,那么 直线和O相交； 直线和O相切； 直线和O相离。16.和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆,其圆心称为内心。内心是三角形三个角的角平分线的交点。内心到三角形三边的距离相等。17.切线的性质（1）经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线。（2）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。（3）圆的切线垂直于经过切点的半径。18.切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。19.切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,并且圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 20设圆的半径为,圆的半径为,两个圆的圆心距,则： 两圆外离 ； 两圆外切 ； 两圆相交 ； 两圆内切 ； 两圆内含 21.圆中几个关键元素之间的相互转化弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到.22.与圆有关的公式设圆的周长为r,则：（1）求圆的直径公式d=2r（2）求圆的周长公式 C=2r （3）求圆的面积公式S=r2二、解题要领1.判定切线的方法：（1）若切点明确,则“连半径,证垂直”。常见手法有全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直；（2）若切点不明确,则“作垂直,证半径”。常见手法有角平分线定理；等腰三角形三线合一,隐藏角平分线；总而言之,要完成两个层次的证明：直线所垂直的是圆的半径（过圆上一点）；直线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.2.与圆有关的计算：计算圆中的线段长或线段比,通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合,形式复杂,无规律性。分析时要重点注意观察已知线段间的关系,选择定理进行线段或者角度的转化。特别是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化,找出所求线段与已知线段的关系,从而化未知为已知,解决问题。其中重要而常见的数学思想方法有：（1）构造思想：构建矩形转化线段；构建“射影定理”基本图研究线段（已知任意两条线段可求其它所有线段长）；构造垂径定理模型：弦长一半、弦心距、半径；构造勾股定理模型；构造三角函数.（2）方程思想：设出未知数表示关键线段,通过线段之间的关系,特别是发现其中的相等关系建立方程,解决问题。（3）建模思想：借助基本图形的结论发现问题中的线段关系,把问题分解为若干基本图形的问题,通过基本图形的解题模型快速发现图形中的基本结论,进而找出隐藏的线段之间的数量关系。专题典型题考法及解析 【例题1】（2019山东省滨州市）如图,AB为O的直径,C,D为O上两点,若BCD40,则ABD的大小为（）A60B50C40D20【例题2】（2019南京）如图,PA.PB是O的切线,A.B为切点,点C.D在O上若P102,则A+C 【例题3】（2019甘肃武威）如图,在ABC中,ABAC,BAC120,点D在BC边上,D经过点A和点B且与BC边相交于点E（1）求证：AC是D的切线；（2）若CE2,求D的半径【例题4】（2019江苏苏州）如图,AE为的直径,D是弧BC的中点BC与AD,OD分别交于点E,F.（1）求证：；（2）求证：;（3）若,求的值. 专题典型训练题 一、选择题1(2019甘肃陇南)如图,点A,B,S在圆上,若弦AB的长度等于圆半径的倍,则ASB的度数是（）A22.5B30C45D602.（2019山东省聊城市）如图,BC是半圆O的直径,D,E是上两点,连接BD,CE并延长交于点A,连接OD,OE如果A70,那么DOE的度数为（）A35B38C40D423.（2019广西贵港）如图,AD是O的直径,若AOB40,则圆周角BPC的度数是（）A40B50C60D704.（2019湖北天门）如图,AB为O的直径,BC为O的切线,弦ADOC,直线CD交BA的延长线于点E,连接BD下列结论：CD是O的切线；CODB；EDAEBD；EDBCBOBE其中正确结论的个数有（）A4个B3个C2个D1个5.（2019山东省德州市 ）如图,点O为线段BC的中点,点A,C,D到点O的距离相等,若ABC40,则ADC的度数是（）A130B140C150D1606.（2019湖南益阳）如图,PA、PB为圆O的切线,切点分别为A、B,PO交AB于点C,PO的延长线交圆O于点D,下列结论不一定成立的是（）APAPBBBPDAPDCABPDDAB平分PD7.（2019广东广州）平面内,O的半径为1,点P到O的距离为2,过点P可作O的切线条数为（）A0条B1条C2条D无数条8（2019山东泰安）如图,ABC是O的内接三角形,A119,过点C的圆的切线交BO于点P,则P的度数为（）A32B31C29D619(2019湖南益阳)如图,PA、PB为圆O的切线,切点分别为A、B,PO交AB于点C,PO的延长线交圆O于点D,下列结论不一定成立的是()APAPBBBPDAPDCABPDDAB平分PD10. (2019湖北荆门)如图,ABC内心为I,连接AI并延长交ABC的外接圆于D,则线段DI与DB的关系是（）ADIDBBDIDBCDIDBD不确定二、填空题11.（2019广西北部湾）九章算术作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著,与古希腊的几何原本并称现代数学的两大源泉.在九章算术中记载有一问题：“今有圆材埋在壁中,不知大小。以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何？”小辉同学根据原文题意,画出圆材截面图如图所示,已知：锯口深为1寸,锯道AB=1尺（1尺=10寸）,则该圆材的直径为 寸.12. (2019黑龙江绥化)半径为5的O是锐角三角形ABC的外接圆,ABAC,连接OB,OC,延长CO交弦AB于点D.若OBD是直角三角形,则弦BC的长为_.13. （2019山东东营）如图,AC是O的弦,AC=5,点B是O 上的一个动点,且ABC=45,若点M、N分别是 AC、BC的中点,则 MN的最大值是_14.（2019黑龙江省龙东地区）如图,在O中,半径OA垂直于弦BC,点D在圆上,且ADC30,则AOB的度数为_15.（2019江苏常州）如图,AB是O的直径,C、D是O上的两点,AOC120,则CDB 16.（2019四川省雅安市）如图,ABC内接于O,BD是O的直径,CBD=21,则 A的度数为_. 17.(2019安徽)如图,ABC内接于O,CAB30,CBA45,CDAB于点D,若O的半径为2,则CD的长为 18.（2019江苏泰州）如图,O的半径为5,点P在O上,点A在O内,且AP3,过点A作AP的垂线交O于点B.C设PBx,PCy,则y与x的函数表达式为 19.（2019山东省济宁市 ）如图,O 为Rt ABC 直角边 AC 上一点,以 OC 为半径的O 与斜边 AB 相切于点 D,交 OA 于点 E,已知 BC,AC3则图中阴影部分的面积是 20.（2019湖北省鄂州市）如图,在平面直角坐标系中,已知C（3,4）,以点C为圆心的圆与y轴相切点A、B在x轴上,且OAOB点P为C上的动点,APB90,则AB长度的最大值为 三、解答题21.（2019南京）如图,O的弦AB.CD的延长线相交于点P,且ABCD求证：PAPC22.（2019湖南株洲）四边形ABCD是O的圆内接四边形,线段AB是O的直径,连结AC.BD点H是线段BD上的一点,连结AH、CH,且ACHCBD,ADCH,BA的延长线与CD的延长线相交与点P（1）求证：四边形ADCH是平行四边形；（2）若ACBC,PBPD,AB+CD2（+1）求证：DHC为等腰直角三角形；求CH的长度23.（2019广西池河）如图,五边形ABCDE内接于O,CF与O相切于点C,交AB延长线于点F（1）若AEDC,EBCD,求证：DEBC；（2）若OB2,ABBDDA,F45,求CF的长24.（2019甘肃）如图,在RtABC中,C90,以BC为直径的O交AB于点D,切线DE交AC于点E（1）求证：AADE；（2）若AD8,DE5,求BC的长25.（2019湖北省咸宁市）如图,在RtABC中,ACB90,D为AB的中点,以CD为直径的O分别交AC,BC于点E,F两点,过点F作FGAB于点G（1）试判断FG与O的位置关系,并说明理