题海无涯，备战中考专题14 函数的综合问题 专题知识回顾 1.一次函数与二次函数的综合。2.一次函数与反比例函数的综合。3.二次函数与反比例函数的综合。4.一次函数、二次函数和反比例函数的综合。专题典型题考法及解析 【例题1】(2019黑龙江绥化)一次函数y1x+6与反比例函数y2(x0)的图象如图所示.当y1y2时,自变量x的取值范围是_.第18题图【答案】2xy2时,自变量x的取值范围是2x4.【例题2】（2019吉林长春）如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2-2ax+(a0)与y轴交于点A,过点A作x轴的平行线交抛物线于点M,P为抛物线的顶点,若直线OP交直线AM于点B,且M为线段AB的中点,则的值为 【答案】2.【解析】本题主要考查二次函数的综合运用,首先根据二次函数的解析式可得出点A和点M的坐标,然后将二次函数的解析式配方写出y=a(x-1)2+-a的形式,得出点P的坐标,进而得出OP的方程,进而得出点B的坐标,最后根据M为线段AB的中点,可得=4,进而得出答案.令x=0,可得y=,点A的坐标为（0,）,点M的坐标为（2,）.y=ax2-2ax+=a(x-1)2+-a,抛物线的顶点P的坐标为（1,-a）,直线OP的方程为y=(-a)x,令y=,可得x=,点B的坐标为（,）.M为线段AB的中点,=4,解得a=2。【例题3】（2019广西省贵港市）如图,菱形的边在轴上,点的坐标为,点在反比例函数的图象上,直线经过点,与轴交于点,连接,（1）求,的值；（2）求的面积【答案】将解析。【解析】由菱形的性质可知,点代入反比例函数,求出；将点代入,求出；求出直线与轴和轴的交点,即可求的面积；（1）由已知可得,菱形,点在反比例函数的图象上,将点代入,；（2）,直线与轴交点为, 专题典型训练题 1.（2019广东深圳）已知函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示,则函数y=ax+b与y=的图象为（ ） 【答案】C【解析】二次函数的图象与系数的关系；一次函数的图象与系数的关系；反比例函数的图象与系数的关系；符号判断。先根据二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象确定a,b,c的正负,则判断一次函数与反比例函数的图象所在的象限由二次函数的图象可知,a0,c0当a0,c0时,一次函数y=ax+b经过第一、二、四象限；反比例函数y=位于第二、四象限,选项C符合故选C2.（2019四川省雅安市） 已知函数的图像如图所示,若直线y=x+m与该图像恰有三个不同的交点,则m的取值范围为 _.【答案】0m【解析】观察图像可知,当直线y=x+m经过原点时与函数的图像有两个不同的交点,再向上平移,有三个交点,当向上平移到直线y=x+m与的图像有一个交点时,此直线y=x+m与函数的图像有两个不同的交点,不符合题意,从而求出m的取值范围由y=x+m与得,整理得,当有两个交点,解得m0,m的取值范围为0m,故答案为0m3. （2019湖北仙桃）如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC的顶点坐标分别为O（0,0）,A（12,0）,B（8,6）,C（0,6）动点P从点O出发,以每秒3个单位长度的速度沿边OA向终点A运动；动点Q从点B同时出发,以每秒2个单位长度的速度沿边BC向终点C运动设运动的时间为t秒,PQ2y（1）直接写出y关于t的函数解析式及t的取值范围： ；（2）当PQ35时,求t的值；（3）连接OB交PQ于点D,若双曲线y=kx（k0）经过点D,问k的值是否变化？若不变化,请求出k的值；若变化,请说明理由【答案】见解析。【解析】（1）过点P作PEBC于点E,如图1所示当运动时间为t秒时（0t4）时,点P的坐标为（3t,0）,点Q的坐标为（82t,6）,PE6,EQ|82t3t|85t|,PQ2PE2+EQ262+|85t|225t280t+100,y25t280t+100（0t4）故答案为：y25t280t+100（0t4）（2）当PQ35时,25t280t+100（35）2,整理,得：5t216t+110,解得：t11,t2=115（3）经过点D的双曲线y=kx（k0）的k值不变连接OB,交PQ于点D,过点D作DFOA于点F,如图2所示OC6,BC8,OB=OC2+BC2=10BQOP,BDQODP,BDOD=BQOP=2t3t=23,OD6CBOA,DOFOBC在RtOBC中,sinOBC=OCOB=610=34,cosOBC=BCOB=810=45,OFODcosOBC645=245,DFODsinOBC635=185,点D的坐标为（245,185）,经过点D的双曲线y=kx（k0）的k值为245185=432254. （2019湖南湘西）如图,一次函数ykx+b的图象与反比例函数y=mx的图象在第一象限交于点A（3,2）,与y轴的负半轴交于点B,且OB4（1）求函数y=mx和ykx+b的解析式；（2）结合图象直接写出不等式组0mxkx+b的解集【答案】见解析。【解析】（1）把点A（3,2）代入反比例函数y=mx,可得m326,反比例函数解析式为y=6x,OB4,B（0,4）,把点A（3,2）,B（0,4）代入一次函数ykx+b,可得3k+b=2b=-4,解得k=2b=-4,一次函数解析式为y2x4；（2）不等式组0mxkx+b的解集为：x35.（2019山东东营）如图,在平面直角坐标系中,直线y=mx与双曲线y=相交于A（2,a）、B 两点,BCx 轴,垂足为 C,AOC的面积是2（1）求 m、n的值；（2）求直线 AC的解析式【答案】见解析。【解析】根据反比例函数的对称性可得点A与点B关于原点中心对称,则B（2,a）,由于BCx轴,所以C（2,0）,先利用三角形面积公式得到2a2,解得a2,则可确定A（2,2）,然后把A点坐标代入ymxymx和y中即可求出m,n；根据待定系数法即可得到直线AC的解析式（1）直线ymx与双曲线y相交于A（2,a）、B两点,点A与点B关于原点中心对称,B（2,a）,C（2,0）；SAOC2,2a2,解得a2,A（2,2）,把A（2,2）代入ymx和y得2m2,2,解得m1,n4；（2）设直线AC的解析式为ykx+b,直线AC经过A、C,解得直线AC的解析式为yx+16.（2019湖北咸宁）某工厂用50天时间生产一款新型节能产品,每天生产的该产品被某网店以每件80元的价格全部订购,在生产过程中,由于技术的不断更新,该产品第x天的生产成本y（元/件）与x（天）之间的关系如图所示,第x天该产品的生产量z（件）与x（天）满足关系式z2x+120（1）第40天,该厂生产该产品的利润是 元；（2）设第x天该厂生产该产品的利润为w元求w与x之间的函数关系式,并指出第几天的利润最大,最大利润是多少？在生产该产品的过程中,当天利润不低于2400元的共有多少天？【答案】见解析。【解析】由图象可知,第40天时的成本为40元,此时的产量为z240+12040,则可求得第40天的利润利用每件利润总销量总利润,进而求出二次函数最值即可（1）由图象可知,第40天时的成本为40元,此时的产量为z240+12040则第40天的利润为：（8040）401600元故答案为1600（2）设直线AB的解析式为ykx+b（k0）,把（0,70）（30,40）代入得b=7030k+b=40,解得b=70k=-1 直线AB的解析式为yx+70（）当0x30时w80（x+70）（2x+120）2x2+100x+12002（x25）2+2450当x25时,w最大值2450（）当30x50时,w（8040）（2x+120）80x+4800w随x的增大而减小当x31时,w最大值2320w=-2x2+100x+1200,(0x30)-80x+4800,(30x50)第25天的利润最大,最大利润为2450元（）当0x30时,令2（x25）2+24502400元解得x120,x230抛物线w2（x25）2+2450开口向下由其图象可知,当20x30时,w2400此时,当天利润不低于2400元的天数为：3020+111天（）当30x50时,由可知当天利润均低于2400元综上所述,当天利润不低于2400元的共有11天7. （2019贵州省毕节市）已知抛物线yax2+bx+3经过点A（1,0）和点B（3,0）,与y轴交于点C,点P为第二象限内抛物线上的动点（1）抛物线的解析式为 ,抛物线的顶点坐标为 ；（2）如图1,连接OP交BC于点D,当SCPD：SBPD1：2时,请求出点D的坐标；（3）如图2,点E的坐标为（0,1）,点G为x轴负半轴上的一点,OGE15,连接PE,若PEG2OGE,请求出点P的坐标；（4）如图3,是否存在点P,使四边形BOCP的面积为8？若存在,请求出点P的坐标；若不存在,请说明理由【答案】见解析。【解析】函数的表达式为：ya（x1）（x+3）a（x2+2x3）,即可求解；SCPD：SBPD1：2,则BDBC32,即可求解；OGE15,PEG2OGE30,则OHE45,故OHOE1,即可求解；利用S四边形BOCPSOBC+SPBC8,即可求解（1）函数的表达式为：ya（x1）（x+3）a（x2+2x3）,即：3a3,解得：a1,故抛物线的表达式为：yx22x+3,顶点坐标为（1,4）；（2）OBOC,CBO45,SCPD：SBPD1：2,BDBC32,yDBDsinCBO2,则点D（1,2）；（3）如图2,设直线PE交x轴于点H,OGE15,PEG2OGE30,OHE45,OHOE1,则直线HE的表达式为：yx1,联立并解得：x（舍去正值）,故点P（,）；（4）不存在,理由：连接BC,过点P作y轴的平行线交BC于点H,直线BC的表达式为：yx+3,设点P（x,x22x+3）,点H（x,x+3）,则S四边