第3节空间点 直线 平面之间的位置关系 最新考纲1 理解空间直线 平面位置关系的定义 2 了解可以作为推理依据的公理和定理 3 能运用公理 定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题 1 平面的基本性质 1 公理1 如果一条直线上的在一个平面内 那么这条直线在此平面内 2 公理2 过的三点 有且只有一个平面 3 公理3 如果两个不重合的平面有公共点 那么它们有且只有一条过该点的公共直线 知识梳理 两点 不在同一条直线上 一个 2 空间点 直线 平面之间的位置关系 3 平行公理 公理4 和等角定理平行公理 平行于同一条直线的两条直线 等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行 那么这两个角 4 异面直线所成的角 1 定义 设a b是两条异面直线 经过空间任一点O作直线a a b b 把a 与b 所成的叫做异面直线a与b所成的角 或夹角 互相平行 相等或互补 锐角 或直角 常用结论与微点提醒 1 空间中两个角的两边分别对应平行 则两个角相等或互补 2 异面直线的判定 经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线 3 唯一性的几个结论 1 过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直 2 过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行 3 过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直 1 思考辨析 在括号内打 或 1 两个平面 有一个公共点A 就说 相交于过A点的任意一条直线 2 两两相交的三条直线最多可以确定三个平面 3 如果两个平面有三个公共点 则这两个平面重合 4 若直线a不平行于平面 且a 则 内的所有直线与a异面 诊断自测 解析 1 如果两个不重合的平面有一个公共点 那么它们有且只有一条过该点的公共直线 故错误 3 如果两个平面有三个公共点 则这两个平面相交或重合 故错误 4 由于a不平行于平面 且a 则a与平面 相交 故平面 内有与a相交的直线 故错误 答案 1 2 3 4 2 必修2P52B1 2 改编 如图所示 在正方体ABCD A1B1C1D1中 E F分别是AB AD的中点 则异面直线B1C与EF所成角的大小为 A 30 B 45 C 60 D 90 解析连接B1D1 D1C 则B1D1 EF 故 D1B1C为所求的角 又B1D1 B1C D1C D1B1C 60 答案C 3 2018 贵阳调研 是一个平面 m n是两条直线 A是一个点 若m n 且A m A 则m n的位置关系不可能是 A 垂直B 相交C 异面D 平行解析依题意 m A n m与n异面 相交 垂直是相交的特例 一定不平行 答案D 4 一题多解 2017 全国 卷 如图 在下列四个正方体中 A B为正方体的两个顶点 M N Q为所在棱的中点 则在这四个正方体中 直线AB与平面MNQ不平行的是 解析法一对于选项B 如图 1 所示 连接CD 因为AB CD M Q分别是所在棱的中点 所以MQ CD 所以AB MQ 又AB 平面MNQ MQ 平面MNQ 所以AB 平面MNQ 同理可证选项C D中均有AB 平面MNQ 因此A项不正确 图 1 法二对于选项A 其中O为BC的中点 如图 2 所示 连接OQ 则OQ AB 因为OQ与平面MNQ有交点 所以AB与平面MNQ有交点 即AB与平面MNQ不平行 A项不正确 答案A 图 2 5 如图 正方体的底面与正四面体的底面在同一平面 上 且AB CD 则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为 解析EF与正方体左 右两侧面均平行 所以与EF相交的侧面有4个 答案4 考点一平面的基本性质及应用 例1 1 2016 山东卷 已知直线a b分别在两个不同的平面 内 则 直线a和直线b相交 是 平面 和平面 相交 的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 解析由题意知a b 若a b相交 则a b有公共点 从而 有公共点 可得出 相交 反之 若 相交 则a b的位置关系可能为平行 相交或异面 因此 直线a和直线b相交 是 平面 和平面 相交 的充分不必要条件 答案A 证明 四边形BCHG是平行四边形 C D F E四点是否共面 为什么 四边形BCHG为平行四边形 四边形BEFG为平行四边形 EF BG 由 1 知BG綉CH EF CH EF与CH共面 又D FH C D F E四点共面 规律方法1 证明线共面或点共面的常用方法 1 直接法 证明直线平行或相交 从而证明线共面 2 纳入平面法 先确定一个平面 再证明有关点 线在此平面内 3 辅助平面法 先证明有关的点 线确定平面 再证明其余元素确定平面 最后证明平面 重合 2 证明点共线问题的常用方法 1 基本性质法 一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点 再根据基本性质3证明这些点都在这两个平面的交线上 2 纳入直线法 选择其中两点确定一条直线 然后证明其余点也在该直线上 训练1 如图 正方体ABCD A1B1C1D1中 E F分别是AB和AA1的中点 求证 1 E C D1 F四点共面 2 CE D1F DA三线共点 证明 1 如图 连接EF CD1 A1B E F分别是AB AA1的中点 EF A1B 又A1B D1C EF CD1 E C D1 F四点共面 2 EF CD1 EF CD1 CE与D1F必相交 设交点为P 如图所示 则由P CE CE 平面ABCD 得P 平面ABCD 同理P 平面ADD1A1 又平面ABCD 平面ADD1A1 DA P 直线DA CE D1F DA三线共点 考点二判断空间两直线的位置关系 例2 1 若m n为两条不重合的直线 为两个不重合的平面 则下列命题中正确的是 若直线m n都平行于平面 则m n一定不是相交直线 若直线m n都垂直于平面 则m n一定是平行直线 已知平面 互相垂直 且直线m n也互相垂直 若m 则n 若直线m n在平面 内的射影互相垂直 则m n A B C D 2 2018 唐山一中月考 如图 G H M N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点 则表示直线GH MN是异面直线的图形有 填上所有正确答案的序号 解析 1 对于 m与n可能平行 可能相交 也可能异面 错误 对于 由线面垂直的性质定理可知 m与n一定平行 故 正确 对于 还有可能n 或n与 相交 错误 对于 把m n放入正方体中 如图 取A1B为m B1C为n 平面ABCD为平面 则m与n在 内的射影分别为AB与BC 且AB BC 而m与n所成的角为60 故 错误 2 图 中 直线GH MN 图 中 G H N三点共面 但M 平面GHN N GH 因此直线GH与MN异面 图 中 连接MG GM HN 因此GH与MN共面 图 中 G M N共面 但H 平面GMN G MN 因此GH与MN异面 所以在图 中 GH与MN异面 答案 1 A 2 规律方法1 异面直线的判定方法 1 反证法 先假设两条直线不是异面直线 即两条直线平行或相交 由假设出发 经过严格的推理 导出矛盾 从而否定假设 肯定两条直线异面 2 定理 平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线 2 点 线 面位置关系的判定 要注意几何模型的选取 常借助正方体为模型 以正方体为主线直观感知并认识空间点 线 面的位置关系 训练2 1 2018 哈尔滨一模 下列命题正确的是 A 若两条直线和同一个平面平行 则这两条直线平行B 若一直线与两个平面所成的角相等 则这两个平面平行C 若一条直线平行于两个相交平面 则这条直线与这两个平面的交线平行D 若两个平面垂直于同一个平面 则这两个平面平行 2 如图 在正方体ABCD A1B1C1D1中 点E F分别在A1D AC上 且A1E 2ED CF 2FA 则EF与BD1的位置关系是 A 相交但不垂直B 相交且垂直C 异面D 平行 解析 1 A选项 两条直线可能平行 可能异面 也可能相交 B选项 一直线可以与两垂直平面所成的角都是45 易知C正确 D中的两平面也可能相交 答案 1 C 2 D 2 连接D1E并延长 与AD交于点M 因为A1E 2ED 可得M为AD的中点 考点三异面直线所成的角 例3 2017 全国 卷 已知直三棱柱ABC A1B1C1中 ABC 120 AB 2 BC CC1 1 则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为 解析将直三棱柱ABC A1B1C1补形为直四棱柱ABCD A1B1C1D1 如图所示 连接AD1 B1D1 BD 由题意知 ABC 120 AB 2 BC CC1 1 在 ABD中 由余弦定理知BD2 22 12 2 2 1 cos60 3 又AB1与AD1所成的角即为AB1与BC1所成的角 答案C 规律方法1 求异面直线所成的角常用方法是平移法 平移方法一般有三种类型 利用图中已有的平行线平移 利用特殊点 线段的端点或中点 作平行线平移 补形平移 2 求异面直线所成角的三个步骤 1 作 通过作平行线 得到相交直线的夹角 2 证 证明相交直线夹角为异面直线所成的角 3 求 解三角形 求出作出的角 如果求出的角是锐角或直角 则它就是要求的角 如果求出的角是钝角 则它的补角才是要求的角