5 3正弦 余弦定理及解三角形 高考数学 考点一正弦 余弦定理1 正弦定理 余弦定理 ABC中 三内角A B C的对边分别为a b c ABC的外接圆半径为R 1 正弦定理 2R 2 余弦定理a2 b2 c2 2bccosA b2 a2 c2 2accosB c2 a2 b2 2abcosC 知识清单 推论 cosA cosB cosC 2 解斜三角形的类型 1 已知两角一边 用正弦定理 有解时 只有一解 2 已知两边及其中一边的对角 用正弦定理 有解的情况可分为以下几种 在 ABC中 已知a b和角A 上表中A为锐角且a bsinA时 无解 A为钝角时 a b或a b 均无解 3 已知三边 用余弦定理 有解时 只有一解 4 已知两边及夹角 用余弦定理 必有一解 3 三角形面积设 ABC的三边为a b c 所对的三个角分别为A B C 面积为S 1 S ah h为BC边上的高 2 S absinC 3 S 2R2sinAsinBsinC R为 ABC的外接圆半径 4 S R为 ABC的外接圆半径 5 S 考点二解三角形及其综合应用1 距离的测量 2 高的测量 3 实际问题中的常用角 1 仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角中 目标视线在水平视线 上方的叫仰角 目标视线在水平视线 下方的 叫俯角 如图 a 所示 2 方位角指从 某点的正北方向顺时针转到目标方向线的水平角 如B点的方位角为 如图 b 所示 3 坡角指坡面与水平面所成的锐二面角 利用正 余弦定理解三角形解三角形时 要注意用正弦定理 还是用余弦定理更方便 简捷 基本原则 1 若已知一条边和两个角 则用正弦定理 2 若已知两条边和其中一边的对角 则既可以用正弦定理 也可以用余弦定理 3 若已知两条边和两边的夹角 则用余弦定理 4 若已知三条边 则用余弦定理 例1 2017浙江名校协作体期初 17 在 ABC中 内角A B C所对的边分别为a b c c 2 C 1 当2sin2A sin 2B C sinC时 求 ABC的面积 2 求 ABC周长的最大值 方法技巧 解题导引 1 三角变换 分cosA 0和cosA 0讨论 利用正 余弦定理得a b的值 由面积公式得结论 2 由余弦定理得关于a b的关系 利用基本不等式得a b的最大值 结论 解析 1 由2sin2A sin 2B C sinC 得4sinAcosA sin A B sin A B 即2sinAcosA sinBcosA 当cosA 0时 A B 由正弦定理得a b 当cosA 0时 sinB 2sinA 由正弦定理得b 2a 由余弦定理得a2 b2 ab 4 解得a b 6分 故S ABC absinC 7分 2 由余弦定理可得a2 b2 ab 4 所以 a b 2 4 3ab 4 得 a b 2 16 所以0 a b 4 当且仅当a b 2时取等号 13分 故 ABC周长的最大值为6 15分 评析本题考查了利用正弦 余弦定理解三角形 三角形面积公式 三角恒等变换 利用基本不等式求最大值等基础知识 考查运算求解能力 利用正 余弦定理解决实际问题1 常见几种类型测量距离问题 高度问题 角度问题 计算面积问题 航海问题 物理问题等 2 解题时需要注意的几个问题 1 要注意仰角 俯角 方位角等名词 并能准确地找到这些角 2 要注意将平面几何中的性质 定理与正 余弦定理结合起来 发现题目中的隐含条件 例2 2015湖北 13 5分 如图 一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶 到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30 的方向上 行驶600m后到达B处 测得此山顶在西偏北75 的方向上 仰角为30 则此山的高度 CD m 解析依题意有AB 600 CAB 30 CBA 180 75 105 DBC 30 DC CB ACB 45 在 ABC中 由 得 有CB 300 在Rt BCD中 CD CB tan30 100 则此山的高度CD为100m 答案100