2单层的刚度与强度 层合板由许多单层板组成 所以 单层的刚度与强度是分析层合板刚度与强度的基础 从力学的角度来分析复合材料 宏观力学方法 细观力学方法 本章将讨论单层的刚度与强度 给出宏观力学分析方法的结果 2 1单层的正轴刚度 单层的正轴刚度是指单层在正轴 即单层材料的弹性主方向 上所显示的刚度性能 由于单层厚度与其他尺寸相比较小 一般按平面应力状态进行分析 对于各向同性材料 表达其刚度的参数是工程弹性常数E G 三者之间有如下关系 独立的弹性常数只有2个 2 1 1单层的正轴应力 应变关系 单层在正轴下的平面应力状态只有 1 2 12三个应力分量 本书讨论的复合材料限于在线弹性与小变形情况下 所以材料力学中应变的叠加原理仍适用与复合材料 1 2 12符号 正面正向或负面负向均为正 否则为负 1 2线应变 伸长为正 缩短为负 12 剪应变 与两个坐标方向一致的直角变小为正 变大为负 图2 1单层的正轴及其应力分量 1 2 由 12引起的应变 3 由 2引起的应变 泊松比 纵向 L由纵向应力 1引起横向应变的耦合系数 横向 T 上标 1 2 代表应力 下标1 2代表方向 因此 由 1引起的应变 综合式 1 3 利用叠加原理 即得单层在正轴方向的应变 应力关系式 4 单层的正轴工程弹性常数一共有5个 可以证明前4个存在如下关系式 5 因此 应变 应力关系式可写成矩阵形式 系数矩阵各分量可写成 柔量分量 用柔量分量表达的应力 应变关系式 应力 应变关系式 模量分量 其中 Sij与Qij之间存在互逆关系 可以证明 模量分量或柔量分量存在如下的对称关系式 Q21 Q12 S21 S12 因此 表述单层的正轴刚度可以用工程弹性常数 EL ET L GLT 模量分量 柔量分量中的任意一组 实验法测EL ET GLT L T T可利用 5 式计算 实际复合材料工程中 经常碰到正方对称单层的情况 如1 1经纬交织布成型的玻璃钢其单层就是这种情况 此时 它的刚度参数存在如下关系 Q11 Q22 S11 S22 EL ET这种材料的工程弹性常数测3个就行了 单层为正交各向异性的材料时 工程弹性常数的限制条件 可利用上式限制条件来判断材料的实验数据或正交各相异性的材料模型是否正确 2 1 2各种复合材料的单层正轴刚度参数 例题 证明 解 根据线弹性假设 单层在受到应力而引起应变时 单位体积所储存的弹性应变能 利用应力应变关系 将上式分别对 1与 2求导 得 微小地变为 而当变形状态由 则单位体积应变能增量为 由于w是 1 2 12的单值连续函数 所以这一增量可写成全微分形式 比较上面两个dw式 将它们与应力 应变关系式 2 10 比较 2 2单层的偏轴刚度 2 2 1应力转化与应变转化公式 单层的偏轴刚度参数由单层在偏轴下的应力 应变关系所确定 正轴下的应力 应变关系与偏轴下的应力 应变关系可以相互转化 根据材料力学中推导应力转化公式的方法 推得由偏轴应力求正轴应力 称为应力正转换 的公式 如下 式中m cos n sin 为辅助角 偏轴 正轴 逆时针为正 顺时针为负 上述转换公式 1 可经适当变化改为由正轴应力求偏轴应力 称为应力负转换 的公式 同样 由偏轴应变求正轴应变 应变正转换 的公式 2 24 图2 3铺层角与偏轴应力分量 由正轴应变求偏轴应变 称为应变负转换 的公式 2 2 2单层的偏轴应力 应变关系 见书中公式 2 32 2 34 2 2 3单层的偏轴模量 采用倍角函数的三角恒等式 将偏轴模量公式简单化 其中 U1 Q U2 Q U3 Q U4 Q U5 Q 称为单层正轴模量的线性组合 也为材料常数 表达式见 2 38 具体值可查表2 4 1 偏轴模量分量的常数项 2 偏轴模量分量的周期项幅值 U2 Q U3 Q 是模量分量中周期项的幅值 U2 Q 大于U3 Q 表2 4 所以U2 Q 影响复合材料各向异性程度大些 3 偏轴模量分量之间的关系偏轴模量6个分量正轴模量4个分量 4 偏轴模量分量的估算值 P21参见18 为方便起见 用近视公式来估算偏轴模量分量 公式2 38中第一项 即 2 2 4单层的偏轴柔量同样 通过三角恒等式 将偏轴柔量公式简化为 其中 U1 S U2 S U3 S U4 S U5 S 称为单层正轴柔量的线性组合 也为材料常数 见表2 5 2 2 5单层的偏轴工程弹性常数单层的偏轴工程弹性常数是单层在偏轴下由单轴应力或纯剪应力确定的刚度性能参数 1 单层的偏轴工程弹性常数定义 可分别设 x 0 y xy 0 y 0 x xy 0 xy 0 x y 0 三种情况来定义单层的偏轴工程弹性常数 第一种情况时 由偏轴应变 应力关系式 2 30 可得 所以 单层的偏轴工程弹性常数与柔量分量之间的关系 反过来 可以写出以偏轴工程弹性常数表示偏轴柔量分量的关系式 类似地可求得第二种 第三种情况 书中公式 2 54 2 55 由于柔量分量的对称性Sij Sji 所以偏轴工程弹性常数具有如下关系式 2 偏轴工程弹性常数的转换关系由正轴工程弹性常数可求出偏轴工程弹性常数的转换关系 公式 2 58 注意 单层的各个偏轴工程弹性常数的最大值与最小值并不一定发生在材料主方向上 要具体材料具体分析 极值分析是作出这种分析的一种重要方法 根据偏轴工程弹性常数随 的变化曲线 可以简单地判断复合材料在单轴应力或纯剪应力时的变形形状 如图2 8 3 偏轴工程弹性常数与偏轴模量的关系偏轴工程弹性常数是单轴应力或纯剪应力下定义的一些系数 偏轴模量是平面应力状态下应力 应变关系中的一些系数 可以将单轴应力或纯剪应力看作平面应力状态的特殊情况 得到偏轴工程弹性常数与偏轴模量的关系式 例2 4例2 6 1 最大应力失效准则 2 3单层的强度 2 3 1单层的基本强度单层的4个工程弹性常数 EL ET VL GLT 和5个基本强度 Xt Xc Yt Yc S 一般统称为复合材料的9个工程常数 2 3 2单层的失效准则单层的失效准则是以判别单层在偏轴向应力作用或平面应力状态下是否失效的准则 1 Xt 压缩时 1 Xc 2 Yt 压缩时 2 Yc 12 S 2 最大应变失效准则 当单层在平面应力的任何应力状态下 单层正轴向的任何一个应力分量达到极限应力时 单层就失效 1 xt 1 xc 2 Yt 2 Yc 12 s同样 当单层在平面应力的任何应力状态下 单层正轴向的任何一个应变分量到达极限应变时 单层失效 根据材料线弹性假设 失效准则中的极限应变与基本强度的对应关系 根据上面的公式 2 80 可将最大应变失效准则改写成用应力和基本强度表达的形式 将上式与最大应力失效准则比较可知 最大应变失效准则中考虑了另一弹性主方向应力的影响 如果泊松耦合系数值很小 这一影响则很小 3 蔡 希尔 Tsai Hill 失效准则单层的蔡 希尔失效准则由下式表示 蔡 希尔失效准则将基本强度X Y S联系在一个表达式中 考虑了它们之间的相互影响 但是 对于拉 压强度不同的材料 这一失效准则不能用一个表达式同时表达拉 压应力的两种情况 4 霍夫曼 Hoffman 失效准则 对于拉 压强度不同的材料可用同一表达式给出 5 蔡 胡 Tsai Wu 失效准则单层的蔡 胡失效准则由下式表示 当材料的拉 压强度相等时 蔡 胡与蔡 希尔失效判据相当 只是 1 2项的系数不同 前者为2F12 后者为 1 X2 所以蔡 胡失效准则更具有普遍性 且考虑了 1 2项系数的正确取值 2 3 3单层的强度比方程强度比的定义单层在作用应力下 极限应力的某一分量与其对应的作用应力分量之比值称为强度 应力比 简称强度比 记为R 即 强度比R取值的含义 1 R 表明作用的应力为零 2 R 1表明作用应力为安全值 R 1表明作用应力到单层失效时尚可增加的应力倍数 3 R 1表明作用的应力正好达到极限值 4 R 1表明作用应力超过极限应力 所以没有实际意义 但设计计算中出现R 1仍然是有用的 它表明必须使作用应力下降 或加大有关结构尺寸 2 强度比方程利用强度比定义式 各种失效准则表达式均可变成其对应的强度比方程 蔡 胡失效准则其对应的强度比方程为 上式为一元二次方程 可对R求解 例题 2 7例题 2 8 2 4单层的三维应力 应变关系 前面讨论单层的刚度与强度都是基于单层为平面应力状态下的应力 应变关系 本节将讨论单层的三维应力 应变关系 以及它与平面应力状态下应力 应变关系之间的联系 2 4 1单层的一般三维应力 应变关系在线弹性 小变形的情况下 单层在任意符合右手螺旋规则的坐标系xyz下 图2 13 仿照平面应力状态下利用叠加原理得到应变 应力关系 推广到具有三维应力状态的情况 得到单层的一般三维应变 应力关系式 或简写成 式中Sij称为三维柔量分量 图2 13在任意坐标系xyz下的单层 反知 单层的一般三维应力 应变关系式 或简写成 式中Cij称为三维模量分量 显然 三维模量分量构成的矩阵与三维柔量分量构成的矩阵是互逆的 即 模量分量与柔量分量均称为弹性系数 在线弹性的情况下 所以弹性系数实际为21个 2 4 2单层的正轴三维应力 应变关系当xyz坐标系正好位于具有正交各向异性的单层的主方向上 将坐标轴x y z改为1 2 3 且1 2为单层面内主方向 约定1轴为刚度较大的主方向 3为垂直单层面的轴 图2 14 那么 一点处的线应变 1 2 3只与该点处的正应力 1 2 3有关 而与剪应力无关 同样 该点处的剪应变 图2 14在正轴坐标系123下的单层 1 2 3分别仅与剪应力有关 而与正应力无关 所以单层正轴三维应变 应力关系式为 或简写成 式中Sij称为三维正轴柔量分量 三维正轴柔量分量的如下各分量为零 若上述应变 应力关系式改为用应变表示应力 即得单层的正轴三维应力 应变关系式 式中Cij称为三维正轴模量分量 正轴模量分量与正轴柔量分量均称为正轴弹性系数 类似于式 2 95 与 2 96 有 所以独立的正轴弹性系数为9个 2 4 3横向各向同性单层的正轴三维应力 应变关系式单层中的无纬单层通常具有横向各向同性的性能 即垂直于纤维的平面为各向同性面 如图2 14的2 3面 由于横向各向同性 所以 因此 横向各向同性单层独立的正轴弹性系数减至为5个 横向各向同性单层的正轴三维应变 应力关系式可写为 2 4 4单层的偏轴三维应力 应变关系式对于与单层面内主方向1 2成铺层角 的x y轴情况 此时Z轴与主方向3仍相同 则可以证明 三维的应变 应力关系式为如下形式 由于单层对3轴对称 单层在偏轴下的弹性系数为13个 2 4 5与平面应力状态的关系单层按平面应力状态进行分析时 在偏轴下 z轴与主方向3仍相同 由公式 2 111 得 只考虑 x y xy等面内应力分量 而应力 应变关系式为 上式表明 单层的偏轴模量分量与三维的模量分量是不同的 存在式 2 117 的关系式 由式 2 111 得 代入式 2 111 的 x式中得 将上式与偏轴应力 应变关系比较 可知 但通过 2 110 我们可以推导平面应力状态的柔量分量仍为Sij 类似地 可推出1 3主方向上的拉压弹性模量及剪切弹性模量 例2 9例2 10 2 4 6单层的三维工程弹性常数单层的三维工程弹性常数是单层在三维情况下 由单轴应力或纯剪应力确定的刚度性能参数 以单层的正轴情况为例 定义2轴的拉压弹性模量 习题 2 1解 2 2解 因此 它们的直径变化相同 2 3解 1 可通过柔量分量的表达式 转换 求Q 模量分量 公式 2 8 2 11 2 利用数学方式 模量分量与柔量分量之间存在互逆关系 Q S 1 2 4答 1 复合材料在线弹性与小变形情况下 材料力学中的应变叠加原理仍适合 2 由公式 2 7 或 2 9 2 5答 Q11为模量分量 EL为纵向弹性模量 2 6解 平面应力状态下 单层正轴应变 应力关系式 2 8证 设最大主应力方向为1 2方向 由应力转换公式 2 21 由应变转换公式 2 24 同时 根据单层的正轴应变 应力关系 可得 2 10解