（新课标）2017高考数学大一轮复习第三章三角函数、解三角形23正余弦定理的应用举例课时作业文课时作业23正余弦定理的应用举例一、选择题1有一长为1千米的斜坡，它的倾斜角为20，现要将倾斜角改为10，则斜坡长为()A1千米B2sin10千米C2cos10千米Dcos20千米解析：由题意知DCBC1，BCD160，BD2DC2CB22DCCBcos160，11211cos(18020)22cos204cos210.BD2cos10.答案：C2轮船A和轮船B在中午12时离开海港C，两艘轮船航行方向的夹角为120，轮船A的航行速度是25海里/小时，轮船B的航行速度是15海里/小时，下午2时两船之间的距离是()A35海里B35海里C35海里 D70海里解析：设轮船A、B航行到下午2时时所在的位置分别是E、F，则依题意有CE25250，CF15230，且ECF120，EF70.答案：D3一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60，另一灯塔在船的南偏西75，则这艘船的速度是()A5海里/时 B5海里/时C10海里/时 D10海里/时解析：如图，A，B为灯塔，船从O航行到O，tan30，tan15，BOOO，AO(2)OO.AOBOAB10，OO(2)10.OO5.船的速度为10海里/时答案：C4如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，选定一点C，测出AC的距离为50 m，ACB45，CAB105，则A，B两点的距离为()A50 m B50 mC25 m D. m解析：由正弦定理，得AB50(m)答案：A5一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45，沿点A向北偏东30前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30，则水柱的高度是()A50 m B100 mC120 m D150 m解析：设水柱高度是h m，水柱底端为C，则在ABC中，A60，ACh，AB100，BCh，根据余弦定理得，(h)2h210022h100cos60.即h250h5 0000，即(h50)(h100)0，即h50，故水柱的高度是50 m.答案：A6如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西30且相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东的方向即沿直线CB前往B处求援，则cos等于()A. B.C. D.解析：在ABC中，AB40，AC20，BAC120，由余弦定理得BC2AB2AC22ABACcos120，402202240202 800，所以BC20.由正弦定理得，sinACBsinBAC.由BAC120，知ACB为锐角故cosACB.故coscos(ACB30)cosACBcos30sinACBsin30.答案：B7某人向正东方向走x km后，向右转150，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好是 km，那么x的值为()A. B2C2或 D3解析：如图所示，设此人从A出发，则ABx，BC3，AC，ABC30，由余弦定理得()2x2322x3cos30，整理得x23x60，解得x或2.答案：C8在200 m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30，60，如图所示，则塔高CB为()A. m B. mC. m D. m解析：由已知：在RtOAC中，OA200，OAC30，则OCOAtanOAC200tan30.在RtABD中，AD，BAD30，BDADtanBADtan30，又DCOA200，CBDCBD200.答案：A9(2016云南调研)如图，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的B2处，此时两船相距10海里，则乙船的速度为()A25海里/小时 B25海里/小时C30海里/小时 D30海里/小时解析：如图，连接A1B2，由题知A1A23010，A2B210，又A1A2B260，A1A2B2为正三角形，从而A1B210，B1A1B21056045，又A1B120，在B1A1B2中，由余弦定理，得B1BA1BA1B2A1B1A1B2cos45202(10)222010200.B1B210，乙船的速度为6030(海里/小时)答案：D10(2016启东中学检测)如图，l1，l2，l3是同一平面内三条平行直线，l1与l2间的距离是1，边长为4的正三角形的三顶点分别在l1，l2，l3上，则l2与l3间的距离是()A2 B.C. D2解析：如图，设ABE，则CBE60，设l2，l3间的距离等于d，由题意得sin，cos，sin(60)，d，故选B.答案：B二、填空题11一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60方向，行驶4 h后，船到B处，看到这个灯塔在北偏东15方向，这时船与灯塔的距离为_ km.解析：如图所示，依题意有：AB15460，MAB30，AMB45，在AMB中，由正弦定理，得.解得BM30(km)答案：3012在直径为30 m的圆形广场中央上空，设置一个照明光源，射向地面的光呈圆形，且其轴截面顶角为120，若要光源恰好照整个广场，则光源的高度为_m.解析：轴截面如图，则光源高度h5(m)答案：513某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60和30，第一排和最后一排的距离为10米(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上若国歌长度约为50秒，升旗手应以_(米/秒)的速度匀速升旗解析：在BCD中，BDC45，CBD30，CD10，由正弦定理，得BC20.在RtABC中，ABBCsin602030(米)所以升旗速度v0.6(米/秒)答案：0.614如图所示，为测量河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60，再由点C沿北偏东15方向走10米到位置D，测得BDC45，则塔AB的高是_米解析：在BCD中，DBC30，由正弦定理得，BC10，在RtABC中，tan30，AB的高是10米答案：10三、解答题15(2016河南郑州模拟)如图所示，一辆汽车从点O出发沿一条直线公路以50公里/小时的速度匀速行驶(图中的箭头方向为汽车行驶方向)，汽车开动的同时，在距汽车出发点O的距离为5公里，且距离公路线的垂直距离为3公里的点M的地方有一个人骑摩托车出发，想把一件东西送给汽车司机问骑摩托车的人至少以多大的速度匀速行驶才能实现他的愿望，此时他骑摩托车行驶了多少公里？解：由题意知MI3，OM5，OI4，cosMOI.设骑摩托车的人的速度为v公里/小时，追上汽车的时间为t小时由余弦定理，得(vt)252(50t)22550t，整理得v22 500252900900.当t时，v的最小值为30，其行驶距离为vt(公里)故骑摩托车的人至少以30公里/小时的速度匀速行驶才能实现他的愿望，此时他骑摩托车行驶了公里16(2016石家庄模拟)已知岛A南偏西38方向，距岛A 3海里的B处有一艘缉私艇，岛A处的一艘走私船正以10海里/时的速度向岛北偏西22方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？解：如图，设缉私艇在C处截住走私船，D为岛A正南方向上一点，缉私艇的速度为每小时x海里，则BC0.5x，AC5海里，依题意，BAC1803822120，由余弦定理可得BC2AB2AC22ABACcos120，所以BC249，BC0.5x7，解得x14.又由正弦定理得，sinABC，所以ABC38，又BAD38，所以BCAD，故缉私艇以每小时14海里的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船9 / 9