第十九章第十九章 一次函数知识点总结与常见题型一次函数知识点总结与常见题型 基本概念基本概念 学生姓名学生姓名 1 变量 变量 在一个变化过程中可以取不同数值的量 常量 常量 在一个变化过程中只能取同一数值的量 例题 在匀速运动公式中 表示速度 表示时间 表示在时间 内所走的路程 则变量是 常量vts vtst 是 在圆的周长公式 C 2 r 中 变量是 常量是 2 函数 函数 一般的 在一个变化过程中 如果有两个变量 x 和 y 并且对于 x 的每一个确定的值 y 都有唯一确定 的值与其对应 那么我们就把 x 称为自变量 把 y 称为因变量 y 是 x 的函数 判断 Y 是否为 X 的函数 只要看 X 取值确定的时候 Y 是否有唯一确定的值与之对应 例题 下列函数 1 y x 2 y 2x 1 3 y 4 y 3x 5 y x2 1 中 是一次函数的有 1 x 2 1 A 4 个 B 3 个 C 2 个 D 1 个 3 定义域 定义域 一般的 一个函数的自变量允许取值的范围 叫做这个函数的定义域 4 确定函数定义域的方法 确定函数定义域的方法 1 关系式为整式时 函数定义域为全体实数 2 关系式含有分式时 分式的分母不等于零 3 关系式含有二次根式时 被开放方数大于等于零 4 关系式中含有指数为零的式子时 底数不等于零 5 实际问题中 函数定义域还要和实际情况相符合 使之有意义 例题 下列函数中 自变量 x 的取值范围是 x 2 的是 A y B y C y D y 2x 1 2x 2 4x 2x 2x 函数中自变量 x 的取值范围是 5yx 已知函数 当时 y 的取值范围是 2 2 1 xy11 x A B C D 2 3 2 5 y 2 5 2 3 y 2 5 2 3 y 2 5 2 3 y 5 函数的图像 函数的图像 一般来说 对于一个函数 如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横 纵坐标 那么坐标平面内由 这些点组成的图形 就是这个函数的图象 6 函数解析式 函数解析式 用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式 7 描点法画函数图形的一般步骤 描点法画函数图形的一般步骤 第一步 列表 表中给出一些自变量的值及其对应的函数值 第二步 描点 在直角坐标系中 以自变量的值为横坐标 相应的函数值为纵坐标 描出表格中数值对应的 各点 第三步 连线 按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来 8 函数的表示方法 函数的表示方法 列表法 一目了然 使用起来方便 但列出的对应值是有限的 不易看出自变量与函数之间的对应规律 解析式法 简单明了 能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系 但有些实际问题中的 函数关系 不能用解析式表示 图象法 形象直观 但只能近似地表达两个变量之间的函数关系 9 正比例函数及性质 正比例函数及性质 一般地 形如 y kx k 是常数 k 0 的函数叫做正比例函数 其中 k 叫做比例系数 注 正比例函数一般形式 y kx k 不为零 k 不为零 x 指数为 1 b 取零 当 k 0 时 直线 y kx 经过三 一象限 从左向右上升 即随 x 的增大 y 也增大 当 k0 时 图像经过一 三象限 k0 y 随 x 的增大而增大 k0 时 向上平移 当 b0 图象经过第一 三象限 k0 图象经过第一 二象限 b0 y 随 x 的增大而增大 k0 时 将直线 y kx 的图象向上平移 b 个单位 上加下减 左加右减 当 b0b0经过第一 二 三象限经过第一 三 四象限经过第一 三象限 图象从左到右上升 y 随 x 的增大而增大 经过第一 二 四象限经过第二 三 四象限经过第二 四象限 k0 时 向 上平移 当 b0 或 ax b 0 a b 为常数 a 0 的形式 所以解一元一次不 等式可以看作 当一次函数值大 小 于 0 时 求自变量的取值范围 17 一次函数与二元一次方程组 一次函数与二元一次方程组 1 以二元一次方程 ax by c 的解为坐标的点组成的图象与一次函数 y 的图象相同 b c x b a 2 二元一次方程组的解可以看作是两个一次函数 y 和 y 的图象交 222 111 cybxa cybxa 1 1 1 1 b c x b a 2 2 2 2 b c x b a 点 18 一次函数的图像与两坐标轴所围成三角形的面积 一次函数的图像与两坐标轴所围成三角形的面积 一次函数 y kx b 的图象与两条坐标轴的交点 与 y 轴的交点 0 b 与 x 轴的交点 0 k b 直线 b 0 与两坐标轴围成的三角形面积为 s k b b k b 22 1 2 常见题型常见题型 1 考察一次函数定义考察一次函数定义 1 若函数 2 13 m ymx 是 y 关于 x 的一次函数 则m的值为 解析式为 2 要使 y m 2 xn 1 n 是关于 x 的一次函数 n m 应满足 2 考查图像性质考查图像性质 1 已知一次函数 y m 2 x m 3 的图像经过第一 第三 第四象限 则 m 的取值范围是 2 若一次函数 y 2 m x m 的图像经过第一 二 四象限 则 m 的取值范围是 3 已知是整数 且一次函数的图象不过第二象限 则为 m 4 2ymxm m 4 直线经过一 二 四象限 则直线的图象只能是图 4 中的 ykxb ybxk 5 直线如图 5 则下列条件正确的是 0pxqyr 0 pq 1A pq r 0B pq r 1C pq r 0D pq r 6 如果 则直线不通过 0ab 0 a c ac yx bb A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 7 如图 6 两直线和在同一坐标系内图象的位置可能是 1 ykxb 2 ybxk 8 如果 则直线不通过 0ab 0 a c ac yx bb A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 9 为 时 直线与直线的交点在轴上 b2yxb 34yx x 10 要得到 y x 4 的图像 可把直线 y x 3 2 3 2 A 向左平移 4 个单位 B 向右平移 4 个单位 C 向上平移 4 个单位 D 向下平移 4 个单位 11 已知一次函数 y kx 5 如果点 P1 x1 y1 P2 x2 y2 都在函数的图像上 且当 x1 x2时 有 y1y2 B y1 y2 C y1 y2 D 不能比较 三 三 交点问题交点问题 1 若直线 y 3x 1 与 y x k 的交点在第四象限 则 k 的取值范围是 A k B k1 D k 1 或 k 1 3 1 3 1 3 2 若直线和直线的交点坐标为 则 yxa yxb 8 mab 3 一次函数的图象过点和两点 且 则 的取值范围是 ykxb 1 m 1 m1m k b 4 直线经过点 则必有 ykxb 1 Am 1 B m 1 m A 0 0kb 0 0B kb 0 0C kb 0 0Dkb 5 如图所示 已知正比例函数 xy 2 1 和一次函数 bxy 它们的图像都经过点 P a 1 且一次函数 图像与 y 轴交于 Q 点 1 求 a b 的值 2 求 PQO 的面积 4 面积问题面积问题 1 若直线 y 3x 6 与坐标轴围成的三角形的面积为 S 则 S 等于 A 6 B 12 C 3 D 24 2 若一次函数 y 2x b 的图像与坐标轴围成的三角形的面积是 9 则 b 3 已知一次函数与的图像都经过 且与轴分别交于点 B 则的面积2yxa yxb 2 0 A ycABC 为 A 4 B 5 C 6 D 7 4 已知一次函数 y kx b 的图像经过点 1 5 且与正比例函数的图像相交于点 2 a 求 1 y x 2 1 a 的值 2 k b 的值 3 这两个函数图像与 x 轴所围成的三角形面积 五五 一次函数解析式的求法一次函数解析式的求法 1 定义型定义型 例 1 已知函数是一次函数 求其解析式 ymx m 33 2 8 2 点斜型 点斜型 例 2 已知一次函数的图像过点 2 1 求这个函数的解析式 ykx 3 3 两点型 两点型 例 3 已知某个一次函数的图像与 x 轴 y 轴的交点坐标分别是 2 0 0 4 则这个函 数的解析式为 4 图像型 图像型 例 4 已知某个一次函数的图像如图所示 则该函数的解析式为 y 2 O 1 x 5 斜截型 斜截型 例 5 已知直线与直线平行 且在 y 轴上的截距为 2 则直线的解析式为 ykxb yx 2 6 平移型 平移型 例 6 把直线向下平移 2 个单位得到的图像解析式为 yx 21 7 实际应实际应用型用型 例 7 某油箱中存油 20 升 油从管道中匀速流出 流速为 0 2 升 分钟 则油箱中剩油量 Q 升 与流出时间 t 分钟 的函数关系式为 8 面积型 面积型 例 8 已知直线与两坐标轴所围成的三角形面积等于 4 则直线解析式为 ykx 4 9 对称型 对称型 例 9 若直线 l 与直线关于 y 轴对称 则直线 l 的解析式为 yx 21 知识归纳 若直线与直线关于lykxb 1 x 轴对称 则直线 l 的解析式为 2 y 轴对称 则直线 l 的解析式为ykxb ykxb 3 直线 y x 对称 则直线 l 的解析式为y k x b k 1 4 直线对称 则直线 l 的解析式为yx y k x b k 1 5 原点对称 则直线 l 的解析式为ykxb 10 开放 开放型型 例 10 一次函数的图像经过 1 2 且函数 y 的值随 x 的增大而增大 请你写出一个符合上述条件 的函数关系式 11 比例型 比例型 例 11 已知 y 与 x 2 成正比例 且 x 1 时 y 6 求 y 与 x 之间的函数关系式 练习题 练习题 1 已知直线 y 3x 2 当 x 1 时 y 2 已知直线经过点 A 2 3 B 1 3 则直线解析式为 3 点 1 2 在直线 y 2x 4 上吗 填在或不在 4 当 m 时 函数 y m 2 3 2 m x 5 是一次函数 此时函数解析式为 5 已知直线 y 3x b 与两坐标轴所围成的三角形的面积为 6 则函数的解析式为 6 已知变量 y 和 x 成正比例 且 x 2 时 y 则 y 和 x 的函数关系式为 2 1 7 点 2 5 关于原点的对称点的坐标为 关于 x 轴对称的点的坐标为 关于 y 轴对称的点的坐标 为 8 直线 y kx 2 与 x 轴交于点 1 0 则 k 9 直线 y 2x 1 与 x 轴的交点坐标为 与 y 轴的交点坐标 10 若直线 y kx b 平行直线 y 3x 4 且过点 1 2 则 k 11 已知 A 1 2 B 1 1 C 5 1 D 2 4 E 2 2 其中在直线 y x 6 上的点有 在直线 y 3x 4 上的点有 12 某人用充值 50 元的 IC 卡从 A 地向 B 地打长途电话 按通话时间收费 3 分钟内收费 2 4 元 以后每超过 1 分钟加收 1 元 若此人第一次通话 t 分钟 3 t 45 则 IC 卡上所余的费用 y 元 与 t 分 之间的关系 式是 13 某商店出售一种瓜子 其售价 y 元 与瓜子质量 x 千克 之间的关系如下表 质量 x 千克 1234 售价 y 元 3 60 0 207 20 0 2010 80 0 2014 40 0 2 由上表得 y 与 x 之间的关系式是 14 已知 一次函数的图象与正比例函数 Y X 平行 且通过点 0 4 1 求一次函数的解析式 2 若点 M 8 m 和 3 2 N n 5 在一次函数的图象上 求 m n 的值 15 已知一次函数 y kx b 的图象经过点 1 5 且与正比例函数 y x 的图象相交于点 2 a 求 1 2 1 a 的值 2 k b 的值 3 这两个函数图象与 x 轴所围成的三角形面积 16 有两条直线 学生甲解出它们的交点坐标为 3 2 学生乙因把 c 抄错了而baxy 1 ccxy5 2 解出它们的交点坐标为 求这