第九章二阶线性常微分方程的级数解法斯特姆 刘维本征值问题 教材第七章 曲线坐标系中的分离变量 以球坐标系下拉普拉斯方程为例二阶线性常微分方程常点邻域内的幂级数解法 以勒让德方程为例子斯特姆 刘维本征值问题 应用分离变量法解数学物理偏微分方程时 不可能总是采用直角坐标系 在很多情况下需要根据边界的形状选择适当的曲线坐标系 如所研究的物理系统的边界为球面或柱面 就需要采用球坐标系或柱坐标系 统称曲线坐标系 在球坐标系或柱坐标系中利用分离变量法求解偏微分方程时 经常会遇到二阶齐次 线性 变系数的常微分方程 如勒让德方程 贝塞尔方程 特殊函数的常微分方程 等等 变系数常微分方程的求解一般都是比较复杂的 需要一些特殊的方法才能对它们进行求解 一个比较普遍的方法就是级数解法 本章将对二阶齐次 线性 变系数常微分方程的级数解法作一简要的介绍 一 曲线坐标系中的分离变量 以球坐标系下的拉普拉斯方程为例 球极坐标 边界 柱坐标 拉普拉斯方程 直角坐标系 柱坐标系 球坐标系 拉普拉斯算子 球坐标系下拉普拉斯方程的分离变量 球坐标系下拉普拉斯方程的形式为 分离变量 欧拉形方程 球函数方程 径向函数所满足的方程为欧拉形方程 其解为 求解过程 先作坐标变换 原方程变为 其解为 球函数方程的分离变量 再令 球函数方程 得到两个常微分方程 自然周期边界条件 解常微分方程 得其通解为 再解常微分方程 令 方程的形式变为 l 阶缔合勒让德方程在区间 1 1 内的有界解为缔合勒让德函数 记为 l 阶缔合勒让德方程 特殊函数方程 结论 在球坐标系下拉普拉斯方程 的通解为 于是轴对称情形下球坐标系中拉普拉斯方程的通解为 l 阶勒让德方程 特殊函数方程 轴对称情形下球坐标系中拉普拉斯方程的通解 如果所研究的问题具有轴对称性 即u是轴对称的 对 的转动不改变u 则 是l 阶勒让德多项式 它是l 阶勒让德方程在区间 1 1 内的有界解 二 二阶齐次 线性 变系数常微分方程常点邻域内的级数解法 以勒让德方程为例 二阶齐次线性变系数常微分方程的标准形式为 对于复变函数 级数解法 假设我们要求解方程在某点的邻域内的解 我们可以将解展开为的级数的形式 然后将级数解代入原方程 再确定级数展开式中的待定系数 根据系数 在点z0的邻域内的解析性质 数学上可以证明在点z0的邻域内方程的级数解应该具有何种形式 如是泰勒级数还是罗朗级数 方程的常点和奇点 如果方程的系数p z q z 均在点z0的某个邻域内解析 就称z0为方程的常点 如果z0是方程的系数p z q z 的孤立奇点 就称z0为方程的奇点 下面我们以常点邻域内的幂级数解法为例 简要介绍用幂级数解法求解二阶线性常微分方程的具体作法 二 常点邻域上的级数解法 定理 如果方程 的系数p z q z 在点z0的邻域内解析 则方程在点z0的邻域内的解可以表示成泰勒级数的形式 级数展开式中的待定系数由边界条件或初始条件确定 以勒让德方程为例 展开系数的确定 C0 C1为任意复常数 a0 a1 ak 待定系数 初始条件 即 在x0 0的邻域内用级数解法求解l 阶勒让德方程 方程的系数 在x0 0 p x0 0 q x0 l l 1 在x0 0解析 x0 0是方程的常点 在的邻域内 于是 代入l阶勒让德方程 合并同幂次的项 得到l阶勒让德方程解 在实际应用勒让德方程时 一般附有边界条件 要求解在收敛 x cos 0 上述有界条件仅当参数l为非负整数时才能成立 当参数l为非负整数时 级数解退化为l次多项式 称为l阶勒让德多项式 记为Pl x 性质 奇偶性 y0为偶函数 y1为奇函数 收敛性 收敛半径为1 自然边界条件 要求解在保持有限 确定了l必须是整数 确定了勒让德方程的本征值必须是形如的整数 1 x 1 由系数的递推关系可知 当l是偶数时 偶次项的系数在k l以后为零 y0退化为l次多项公式 y1仍为无穷级数 且在x 1时发散 为得到在区间 1 1 有界的解 取 这样 得到l阶偶次勒让德多项式 当l是奇数时 奇次项的系数在k l以后为零 y1退化为l次多项公式 y0仍为无穷级数 且在x 1时发散 为得到在区间 1 1 有界的解 取 这样 得到l阶奇次勒让德多项式 附 为什么当l是整数时 勒让德方程在区间 1 1 内的有界解是l次多项式 和任意 适当选取和 使Pl x 中的最高幂次项 l 阶勒让德多项式Pl x 最高次项的幂次为l 的系数为 于是 l 阶勒让德多项式为 开头的四个勒让德多项式为 其中表示取的整数部分 或表示不超过的最大整数 l 阶勒让德多项式的微分表达式 罗德里格斯公式 补充说明 几类常见的特殊函数 数学物理方法的一个重要内容之一就是对各类特殊函数的介绍 如勒让德多项式 缔合勒让德函数 贝塞尔函数等 这些特殊函数大都是某些特殊常微分方程 如勒让德方程 缔合勒让德方程 贝塞尔方程 的满足某些特定定解条件的解 勒让德方程 勒让德多项式 缔合勒让德方程 缔合勒让德函数 贝塞尔方程 贝塞尔函数 贝塞耳方程还有不同形式的变形 如球贝塞耳方程 虚宗量贝塞耳方程 它们的解统称为柱函数 见教材第九章 p 181 p 197 特殊函数的种类很多 如勒让德多项式 埃米特多项式 拉盖尔多项式 贝塞耳函数 虚宗量贝塞耳函数 球贝塞耳函数 艾里函数 超几何函数 合流超几何函数 等等 这些特殊函数以及与之相对应的常微分方程在很多数学手册中都有详细的介绍 在很多数学手册中对这些特殊函数的各种性质也都有详细的罗列 可供查阅 在很多数学软件 如Mathematica Matlab Fortran等 中这些特殊函数都可以直接调用 在教材中详细地介绍了下面几种特殊函数 勒让德多项式 缔合勒让德函数 球函数 贝塞耳函数 球贝塞耳函数 双曲贝塞耳函数等 因课时关系 在课堂上无法对这些特殊函数的性质一一作详细的介绍 作为一个例子 我们将主要介绍一下勒让德多项式的一些基本性质 见教材第八章 三 斯特姆 刘维尔本征值问题 对二阶齐次线性偏微分方程分离变量时 产生二阶齐次线性常微分方程 解二阶齐次线性偏微分方程的一个基本步骤就是求解二阶线性常微分方程的本征值问题 二阶齐次线性常微方程的一般形式为 1 其中是已知函数 是分离变量过程中引入产生的常数 方程 1 可以化成如下形式的斯特姆 刘维型方程 常见的二阶齐次线性常微分方程都可以化为斯特姆 刘维型方程 斯特姆 刘维型方程与一定的边界条件构成斯特姆 刘维型本征值问题 一定的边界条件限制了常微分方程的解 仅当方程的参数取特定的值时 满足边界条件的非零解才存在 使斯特姆 刘维方程有非零解的值称为本征值 对应于本征值的非零解称为本征函数 斯特姆 刘维型 Sturm Livouville 方程 核函数 权函数 参数 2 周期性边界条件 常见的边界条件通常可以分成三种类型 1 齐次边界条件 2 周期边界条件 3 自然边界条件 设自变量x的变化范围是区间 a b 边界位于x a和x b 三类边界条件分别如下 齐次边界条件 1 第一类边界条件 2 第二类边界条件 3 第三类边界条件 例 对于 有边界条件 3 自然边界条件 有界性条件 当边界点是核函数k x 的一阶零点时 则该边界点上存在自然边界条件 即 在边界点x a上有k a 0时 a点上有自然边界条件 y a 有界 在边界点x b上有k b 0时 b点上有自然边界条件 y b 有界 例如 勒让德方程 勒让德方程的核函数 边界点x 1和x 1为其一阶零点 有自然边界条件 y 1 y 1 有界 斯特姆 刘维方程加上上述三类边界条件之一 即构成斯特姆 刘维本征值问题 常见的工程和物理问题中 斯特姆 刘维方程中的系数通常都是实函数 且满足下列条件 在上述条件下讨论斯特姆 刘维尔方程中的本征值问题 可以得到如下普遍的结论 1 在区间 a b 内 2 在区间 a b 内连续 斯特姆 刘维本征值问题的普遍性质 相应有无限多个本征函数 定理1 存在性定理 关于本征值 本征函数 存在无穷多个实的 分立的本征值 本征值的全体称为给定问题的 谱 当同一本征值对应的本征函数不止一个时 称为 简并 证明 定理2 正交性定理 逐项积分 讨论 证明同上 又 1 具有连续一阶导数和逐段连续二阶导数 定理3 完备性定理 证明 当 正交关系和模是研究特殊函数时的两个重要问题 斯特姆 刘维本征值问题所具有的上述普遍性质是分离变量法的理论基础 用分离变量法求解数学物理方程时要由满足边界条件的特解 某个斯特姆 刘维本征值问题的本征函数 叠加得到一般解 这实际上是按斯特姆 刘维本征值问题的本征函数系展开 其理论依据基础就是斯特姆 刘维本征值问题的所有本征函数构成一个完备的正交函数族 斯特姆 刘维本征值问题所具有的上述普遍性质也是量子力学理论的数学基础 由于斯特姆 刘维本征值问题的本征值可以是分立的 所以在量子力学中物理量可以是量子化的