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B-2、向心力 向心加速度【知识点】理解向心加速度向心加速度的定义:作匀速圆周运动的物体,虽然速度大小不变,但方向在不断变化,因此一定存在加速度。这个加速度不改变速度的大小,只改变速度的方向,因此这个加速度始终与速度方向垂直,指向圆心,叫做向心加速度。其计算公式为: 或 对向心加速度的理解:由公式 和 可知,当线速度一定时,与成反比;当角速度一定时,与成正比。由公式可见,作匀速圆周运动物体的向心加速度大小恒定。但它的方向始终在变化(指向圆心),所以匀速圆周运动是变加速运动。 在匀速圆周运动中,向心加速度是描述速度方向变化快慢的物理量。【知识点】理解向心力向心力作匀速圆周运动的物体既然具有加速度,就一定存在产生这个加速度的力,这个力叫向心力,它的方向始终与速度方向垂直,指向圆心。根据牛顿第二定律可得向心力的大小为 或 对向心力的理解向心力是根据力的作用效果来命名的。在匀速圆周运动中,向心力是作用在物体上的一个力或几个力的合力。它可以是重力、弹力、摩擦力中的一种或几个的合力。物体作匀速圆周运动的条件是必须有初速度,且受到的合外力充当向心力。典型例题甲丙乙ABC图4-B-5例1:如图4-B-5所示,甲、乙两轮固定在一起绕同轴转动,丙轮和乙轮用不打滑的皮带传动。三轮边缘分别有A、B、C三点,且r甲=r丙 =2r乙,求:1 A、B、C 三点线速度之比。?2 A、B、C三点角速度之比。3 A、B、C三点加速度之比。N例2:公路上拱形桥半径为R,一辆质量为m的汽车以速度v通过拱形桥,求:汽车过桥的最高点时对桥面的压力。图4-B-7例3:质量为100g的木块放在半径为0.5m的水平转台上,如图4-B-7所示。已知木块与水平转台间的最大静摩擦力为0.4N,当转台以60r/min(转/分)的转速匀速转动时,欲使木块随转台一起作匀速圆周运动,求:木块距转轴的最大水平距离为多少。如果把木块放在转台边缘上,那么对转台的转速有什么要求?ABCO图4-B-9练习题1一质点作匀速圆周运动,其轨迹如图4-B-9所示,O为圆心,请在图上标出物体在A、B、C三点处的速度方向和加速度方向。2作匀速圆周运动的物体,在运动过程中保持不变的物理量是( )(A)线速度; (B)角速度; (C)合外力; (D)向心力; (E)向心加速度。3物体放在水平的匀速转动唱盘上,随唱盘一同匀速转动,它的受力情况是 ( )(A)受重力和支持力; (B)受重力、支持力和摩擦力;(C)受 重力、支持力、摩擦力和向心力;(D)受重力、支持力、摩擦力和离心力。4.做匀速圆周运动的物体,圆周半径为r,向心加速度为a,则下列关系中错误的是( )(A)线速度=; (B)角速度=;(C)周期T=2; (D)转速n=2。 5.对于作匀速圆周运动物体所受的向心力,下列说法中错误的是( )(A)向心力是根据力产生的效果而命名的;(B)向心力一定与物体所受的合外力相平衡;(C)向心力一定等于物体所受的合外力;(D)向心力的方向时刻在变,但大小一定不变。6一半径为0.5m的飞轮作匀速转动,每分钟转300转,则其边缘上一质量为0.1kg的金属块的线速度为_m/s,向心加速度大小为_ m/s 2,所受合外力的大小为_N。图4-B-101-4-9OOMN7如图4-B-10所示,M球质量为3kg,N球质量为2kg,光滑水平杆穿过它们的直径,两球用细绳系着。当转台绕竖直轴OO/转动时,M、N跟着一起转动。当达到稳定后两球转动的半径之比_,线速度之比_。8如图4-B-11所示,一个半径为0.2m的圆环,绕通过直径的轴DD/作匀速转动,周期为0.5s ,则P点的线速度vP =_m/s ,角速度P =_rad/s ,Q点的向心加速度aQ =_m/s2。PQDDO600300图4-B-11图4-B-12CO2ABO19如图4-B-12所示,一个大轮通过皮带拉着一个小轮转动,皮带和两个轮子间没有滑动,大轮半径是小轮半径的2倍,大轮上的一点A离轴的距离是大轮半径的1/3。当大轮边缘上一点B的向心加速度是0.12m/s2时,大轮上的A点和小轮边缘上的C点的向心加速度各是多少?10一列火车在半径为200m的圆形弯道上行驶,铁路轨道提供的最大向心力是火车重力的0.2倍,则火车在转弯时行驶的最大速度为多少?请你说明为什么在铁路弯道处火车要限速通行。3.应用举例 (1)水平面内的圆周运动:一般为匀速圆周运动。例1. 圆盘绕过中心的竖直轴线匀速转动,小木块与圆盘无相对滑动,距中心为,动摩擦因数为,求物块所能承受的最大角速度。例2. 圆锥摆:已知线长为,与竖直方向夹角,小球质量,试求当小球转速增大(增大)时,周期、角速度、线速度等的变化情况Nmg例3圆锥问题:小球在半径为R的光滑半球内做水平面内的匀速圆周运动,试分析图中的(小球与半球球心连线跟竖直方向的夹角)与线速度v、周期T的关系。例4半圆形碗:半圆形碗内有一小球做匀速圆周运动,质量为,分析小球受力情况并求小球的角速度、线速度与周期。例5.火车转弯:如果车轮与铁轨间无挤压力,则向心力完全由重力和支持力提供 , v增加,外轨挤压,如果v减小,内轨挤压。(2)竖直平面内的圆周运动:存在重力做功,一般为变速圆周运动1. 轻绳模型: 例1. 如图所示,长为的轻绳一端固定,另一端连接一质量为的小球,若小球能在竖直平面内做完整的圆周运动,问小球在最高点的速度至少多大?轻绳模型与凹形槽类似。2轻杆模型:例1. 如图4,长度为的轻杆一端与质量为的小球相连,以另一端的端点为固定转轴,绕点在竖直平面内做圆周运动,问:(1)小球能通过最高点的最小速度为多少?(2)若小球通过最高点的速度为,试讨论杆对小球的作用力。轻杆模型与圆孔形轨道类似。 3拱桥模型例1. 拱形桥与凹形桥都可以看做半径为R的圆弧,试计算质量为的车以速度行驶到最高点或最低点时对桥的压力大小,并说明那种桥较安全。 圆周运动练习一选择题1质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质木架上的A点和C点,如图所示,当轻杆绕轴BC以角速度匀速转动时,小球在水平面内做匀速圆周运动,绳a在竖直方向,绳b在水平方向,当小球运动到图示位置时,绳b被烧断的同时杆子停止转动,则 ( )A小球仍在水平面内做匀速圆周运动B在绳被烧断瞬间,a绳中张力突然增大C若角速度较小,小球在垂直于平面ABC的竖直平面内摆动D若角速度较大,小球可在垂直于平面ABC的竖直平面内做圆周运动2m为在水平传送带上被传送的小物体(可视为质点),A为终端皮带轮,如图所示,已知皮带轮半径为 r,传送带与皮带轮间不会打滑,当m可被水平抛出时,A轮每秒的转数最少是 ( )A B C D3如图所示,质量为m的物块从半径为R的半球形碗边向碗底滑动,滑到最低点时的速度为v,若物块滑到最低点时受到的摩擦力是Ff,则物块与碗的动摩擦因数为 ( )A B C D4如图所示,在验证向心力公式的实验中,质量相同的钢球 放在A盘的边缘,钢球 放在B盘的边缘,A、B两盘的半径之比为21.a、b分别是与A盘、B盘同轴的轮a轮、b轮半径之比为12,当a、b两轮在同一皮带带动下匀速转动时,钢球 、 受到的向心力之比为 ( )A21 B41 C14 D815如图所示,OO为竖直轴,MN为固定在OO上的水平光滑杆,有两个质量相同的金属球A、B套在水平杆上,AC和BC为抗拉能力相同的两根细线,C端固定在转轴OO上当绳拉直时,A、B两球转动半径之比恒为21,当转轴的角速度逐渐增大时 ( )AAC先断 BBC先断C两线同时断 D不能确定哪根线先断6如图所示,靠摩擦传动做匀速转动的大、小两轮接触面互不打滑,大轮半径是小轮半径的2倍A、B分别为大、小轮边缘上的点,C为大轮上一条半径的中点则 ( )A两轮转动的角速度相等 B大轮转动的角速度是小轮的2倍C质点加速度aA2aB D质点加速度aB4aC7如图所示,光滑管形圆轨道半径为R(管径远小于R),小球a、b大小相同,质量均为m,其直径略小于管径,能在管中无摩擦运动两球先后以相同速度v通过轨道最低点,且当小球a在最低点时,小球b在最高点,以下说法正确的是( )A当小球b在最高点对轨道无压力时,小球a比小球b所需向心力大5mgB当v = 时,小球b在轨道最高点对轨道无压力C速度v至少为 ,才能使两球在管内做圆周运动D只要v ,小球a对轨道最低点的压力比小球b对轨道最高点的压力大6mg8用一根细线一端系一小球(可视为质点),另一端固定在一光滑锥顶上,如图所示,设小球在水平面内做匀速圆周运动的角速度为,细线的张力为FT,则FT随2变化的图象是下图中的 ( ) 9如图所示,在倾角 = 30的光滑斜 面上,有一根长为L = 0.8 m的细绳,一端固定在O点,另一端系一质量为m = 0.2 kg的小球,小球沿斜面做圆周运动若要小球能通过最高点A,则小球在最低点B的最小速度是( )A2 m/s B2 m/s C2 m/ s D2 m/s10甲、乙两名溜冰运动员,面对面拉着弹簧测力计做圆周运动,如图所示已知M甲 = 80 kg,M乙= 40 kg,两人相距0.9 m,弹簧测力计的示数为96 N,下列判断中正确的是( )A两人的线速度相同,约为40 m/sB两人的角速度相同,为2 rad/sC两人的运动半径相同,都是0.45 mD两人的运动半径不同,甲为0.3 m,乙为0.6 m11如图所示,汽车车厢顶部悬挂一个轻质弹簧,弹簧下端拴一
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