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第9讲 平面图形上的最短路径问题一、方法技巧知识点:1.两点之间,线段最短 2.垂线段最短 3.线段垂直平分线是的点到线段两端点的距离相等 4.三角形任意两边之差小于第三边总思路:找点关于线的对称点实现“折”转“直”常考类型题:将军饮马、造桥选址、费马点(一)根据两点之间,线段最短类型一 两点在直线同侧(将军饮马)【问题1】“将军饮马”作法图形原理在直线l上求一点P,使PA+PB值最小作B关于l的对称点B连A B,与l交点即为P两点之间线段最短PA+PB最小值为AB类型二 相交直线之间一点或两点【问题2】作法图形原理在直线、上分别求点M、N,使PMN的周长最小分别作点P关于两直线的对称点P和P,连PP,与两直线交点即为M,N两点之间线段最短PM+MN+PN的最小值为线段PP的长【问题3】作法图形原理在直线、上分别求点M、N,使四边形PQMN的周长最小分别作点Q 、P关于直线、的对称点Q和P连QP,与两直线交点即为M,N两点之间线段最短四边形PQMN周长的最小值为线段PP的长【问题4】作法图形原理A为上一定点,B为上一定点,在上求点M,在上求点N,使AM+MN+NB的值最小作点A关于的对称点A,作点B关于的对称点B,连AB交于M,交于N两点之间线段最短AM+MN+NB的最小值为线段AB的长类型三 造桥选址【问题5】“造桥选址”作法图形原理直线,在、,上分别求点M、N,使MN,且AM+MN+BN的值最小将点A向下平移MN的长度单位得A,连AB,交于点N,过N作NM于M两点之间线段最短AM+MN+BN的最小值为AB+MN【问题6】作法图形原理在直线上求两点M、N(M在左)使并使AM+MN+NB的值小将点A向右平移个长度单位得A,作A关于的对称点A, 连AB,交直线于点N,将N点向左平移个单位得M两点之间线段最短AM+MN+BN的最小值为AB+MN类型四 费马点【问题7】“费马点”作法图形原理ABC中每一角都小于120,在ABC求一点P,使PA+PB+PC值最小所求点为“费马点”即满足APBBPCAPC120以AB、AC为边向外作等边ABD、ACE,连CD、BE相交于P,点P即为所求两点之间线段最短PA+PB+PC最小值CD(二)根据垂线段最短类型五 和最小【问题8】作法图形原理在上求点A,在上求点B,使PA+AB值最小作点P关于的对称点P,作PB于B,交于A点到直线,垂线段最短PA+AB的最小值为线段PB的长(三)根据线段垂直平分线上点到线段两端点距离相等类型六 差最小【问题9】作法图形原理在直线l上求一点P,使的值最小连AB,作AB的中垂线与直线l的交点即为P垂直平分上的点到线段两端点的距离相等0(四)根据三角形任意两边之差小于第三边类型七 差最大【问题10】作法图形原理在直线l上求一点P,使的值最大作直线AB,与直线l的交点即为P三角形任意两边之差小于第三边AB的最大值AB【问题11】作法图形原理在直线l上求一点P,使的值最大作B关于l的对称点B作直线A B,与l交点即为P三角形任意两边之差小于第三边.AB最大值AB二、应用举例类型一 两点在直线同侧(将军饮马)【例题1】如图,在锐角ABC中,AB=6,BAC=60,BAC的平分线交BC于点D,M、N分别是AD和AB上的动点,则BM+MN的最小值是( )A3 B C D6 【答案】B【解析】试题分析:在AC上取一点E,使得AE=AB,过E作ENAB于N,交AD于M,连接BM,BE,BE交AD于O,根据两点之间线段最短;点到直线垂直距离最短,得出BM+MN最小,求出E和B关于AD对称,得到BM+MN=EN,求出EN,即可求出答案试题解析:解:在AC上取一点E,使得AE=AB,过E作ENAB于N,交AD于M,连接BM,BE,BE交AD于O,则BM+MN最小(根据两点之间线段最短;点到直线垂直距离最短),AD平分CAB,AE=AB,EO=OB,ADBE,AD是BE的垂直平分线(三线合一),E和B关于直线AD对称,EM=BM,即BM+MN=EM+MN=EN,ENAB,ENA=90,CAB=60,AEN=30,AE=AB=6,AN=AE=3,在AEN中,由勾股定理得:EN=,即BM+MN的最小值是故选B【难度】较易类型二 相交直线之间一或两点【例题2】如图,AOB=30,AOB有一定点P,且OP=10在OA上有一点Q,OB上有一点R若PQR周长最小,则最小周长是( )A10 B15 C20 D30【答案】A【解析】试题分析:先画出图形,作PMOA与OA相交于M,并将PM延长一倍到E,即ME=PM作PNOB与OB相交于N,并将PN延长一倍到F,即NF=PN连接EF与OA相交于Q,与OB相交于R,再连接PQ,PR,则PQR即为周长最短的三角形再根据线段垂直平分线的性质得出PQR周长=EF,再根据三角形各角之间的关系判断出EOF的形状即可求解试题解析:解:设POA=,则POB=30, 作PMOA与OA相交于M,并将PM延长一倍到E,即ME=PM 作PNOB与OB相交于N,并将PN延长一倍到F,即NF=PN 连接EF与OA相交于Q,与OB相交于R,再连接PQ,PR, 则PQR即为周长最短的三角形 OA是PE的垂直平分线, EQ=QP; 同理,OB是PF的垂直平分线, FR=RP, PQR的周长=EF OE=OF=OP=10,且EOF=EOP+POF=2+2(30)=60, EOF是正三角形,EF=10, 即在保持OP=10的条件下PQR的最小周长为10 故选A【难度】较易【例题3】如图,AOB=30,点M、N分别在边OA、OB上,且OM=5,ON=12,点P、Q分别在边OB、OA上,则MP+PQ+QN的最小值是 【答案】13【解析】试题分析:首先作M关于OB的对称点M,作N关于OA的对称点N,连接MN,即为MP+PQ+QN的最小值,易得ONN为等边三角形,OMM为等边三角形,NOM=90,继而求得答案试题解析:解:作M关于OB的对称点M,作N关于OA的对称点N,连接MN,即为MP+PQ+QN的最小值根据轴对称的定义可知:NOQ=MOB=30,ONN=60,OM=OM=5,ON=ON=12,ONN为等边三角形,OMM为等边三角形,NOM=90,在中,故答案为:13【难度】一般类型三 造桥选址【例题4】荆州护城河在CC处直角转弯,河宽相等,从A处到达B处,需经过两座桥DD、EE,护城河及两桥都是东西、南北方向,桥与河岸垂直如何确定两座桥的位置,可使A到B点路径最短?【答案】作AFCD,且AF=河宽,作BGCE,且BG=河宽,连接GF,与河岸相交于E、D,作DD、EE即为桥【解析】试题分析:由于含有固定线段“桥”,导致不能将ADDEEB通过轴对称直接转化为线段,需要构造平行四边形将AD、BE平移至DF、EG,即可得到桥所在位置试题解析:解:作AFCD,且AF=河宽,作BGCE,且BG=河宽,连接GF,与河岸相交于E、D,作DD、EE即为桥证明:由做法可知,AFDD,AF=DD,则四边形AFDD为平行四边形于是AD=FD同理,BE=GE由两点之间线段最短可知,GF最小即当桥建于如图所示位置时,ADDEEB最短【难度】一般类型四 费马点【例题5】在锐角ABC求一点P,使PA+PB+PC为最短值.【答案】【解析】试题分析:设点P为所求点,则PA+PB+PC为最短,将ABP绕B点逆时针旋转60,得到ABP位置,显然AAB与PPB为等边三角形,则有PA=AP,PP=PB,故AP+PP+PC=AP+BP+CP,如果PA+PB+PC为最短,则必须AP+PP+PC最短,而只有折线AP+PP+PC变为直线段AC时,才是最短试题解析:解:(1)将绕逆时针旋转60,得到 (2)连接 (3)作直线与直线相交于点,且使靠近的哪一点就是的位置【难度】一般类型五 和最小【例题6】如图,ABC中,AB=AC=13,BC=10,AD是BC边上的中线且AD=12,是AD上的动点,是AC边上的动点,则CF+EF的最小值为 【答案】【解析】试题分析:作E关于AD的对称点M,连接CM交AD于F,连接EF,过C作CNAB于N根据三线合一定理求出BD的长和ADBC,根据三角形面积公式求出CN,根据对称性求出CF+EF=CM,根据垂线段最短得出CF+EF,即可得出答案.试题解析:解:作E关于AD的对称点M,连接CM交AD于F,连接EF,过C作CNAB于N,AD 是BC边上的中线,AD平分BACM在AB上,在中,E关于AD的对称点M根据垂线段最短得出:即即的最小值是【难度】较难类型六 差最小【例题7】如图,(1)若要使厂部到A、B两村的距离相等,则应选择在哪里建厂?(2)若要使厂部到A、B两村的水管最短,应建在什么地方?【答案】(1)根据中垂线的性质:中垂线上的点到线段两个端点的距离相等知,作出AB的中垂线与河岸交于点P,则点P满足到AB的距离相等(2)作出点A关于河岸的对称点C,连接CB,交河岸于点P,连接AP,则点P能满足AP+PB最小【解析】试题分析:(1)到A、B两村的距离相等,可联想到“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”,又要在河边,所以作AB的垂直平分线,与EF的交点即为符合条件的点(2)要使厂部到A、B两村的水管最短,可联想到“两点之间线段最短”,作A(或B)点关于EF的对称点,连接对称点与B点,与EF交点即为所求试题解析:解:(1)如图,根据中垂线
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