张家口市2020学年第二学期阶段测试卷高一数学一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确.1.六棱柱的底面是边长为2的正六边形，侧面是矩形，侧棱长为4，则其全面积等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意可知，求解正六棱柱的表面积，分别求解侧面积和上下底面面积即可。【详解】底面为正六边形，侧面是矩形，所以为正六棱柱，侧面面积为，上下底面面积为，所以全面积等于，故选B。【点睛】本题属于基础题，考查棱柱的表面积公式。2.已知，且，则 等于（ ）A. -1B. C. D. 9【答案】C【解析】【分析】利用向量加法、减法的坐标表示得出，的坐标，根据向量垂直，内积为0，计算即可。【详解】，由，则，所以，由此，解得。故选C【点睛】本题考查了向量坐标的基本运算和向量垂直的坐标关系，属于基础题。3.已知三条不同的直线 ，且，则与的位置关系是（ ）A. B. 与相交于一点C. 与异面D. 前三个答案都有可能【答案】D【解析】【分析】根据直线与直线共面或异面判断位置关系即可。【详解】当直线共面时，直线可以平行或相交，直线异面时也可满足题目的条件，故选D.【点睛】本题考查直线与直线的位置关系，属于基础题。4.如图，已知正方体的棱长均为2，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）A. B. C. D. 0【答案】B【解析】【分析】根据正方体的线面关系，将平移至，找到异面直线所成角，求解即可。【详解】在正方体中，所以异面直线与所成角为，由为正三角形，故。故选B。【点睛】本题考查了异面直线所成角，求解异面直线所成角的步骤：先平移找到角，再证明，最后求解。5.已知向量，若为实数，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用向量加法、减法的坐标表示得出的坐标，根据向量平行坐标交叉相乘且相等计算即可。【详解】，由向量平行的坐标计算公式可知：，解得。【点睛】本题考查了向量坐标的基本运算和向量平行的坐标关系，属于基础题。6.如图，一圆锥形物体的母线长为4，其侧面积为，则这个圆锥的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先利用侧面积求解底面圆的周长，进而解出底面面积，再求体高，最后解得体积【详解】圆锥的展开图为扇形，半径，侧面积为为扇形的面积，所以扇形的面积，解得 ，所以弧长，所以底面周长为，由此可知底面半径，所以底面面积为，体高为，故圆锥的体积，故选C。【点睛】本题已知展开图的面积，母线长求体积，是圆锥问题的常见考查方式，解题的关键是抓住底面圆的周长为展开图的弧长。7.已知 为两条不同的直线， 为两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. ，则【答案】C【解析】【分析】利用排除法即可。【详解】异面可平行于同一平面，故A、D错。平面可能相交，故B错。故选C。【点睛】本题考查直线与直线平行，直线与平面平行的性质定理，属于基础题。8.如图，四棱锥， 是 的中点，直线交平面 于点 ，则下列结论正确的是（ ）A. 四点不共面B. 四点共面C. 三点共线D. 三点共线【答案】D【解析】【分析】根据公理一、二、三逐一排除即可。【详解】直线与直线交于点，所以平面与平面交于点O，所以必相交于直线，直线在平面内，点故面，故四点共面，所以A错。点若与共面，则直线在平面内，与题目矛盾，故B错。为中点，所以，故，故C错。故选D。【点睛】本题属于中档题，考查公理一、二、三的应用，学生不易掌握，属于易错题。9.如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的表面积之比为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】分别计算圆柱，圆锥，球的表面积，再算比例值即可【详解】设球的半径为，圆柱的表面积。圆锥的表面积，故。球表面积，所以，故选A【点睛】本题考查了圆柱，圆锥，球的表面积的公式，属于基础题。10.如图所示，平面四边形 中，将其沿对角线 折成四面体，使面面 ，则下列说法中正确的是（ ）平面平面ABD；平面平面ACD.A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由面面垂直可得面，由此可得对；由线面面，由此可对.【详解】由题意可知，面面，面面，故面，所以面面；面面，所以面，故；在面内，故面面。故选D。【点睛】本题考查线线垂直，线面垂直，面面垂直的判断定理和性质定理，综合性很强，在使用面面垂直的性质定理时，首先找交线，再找线线垂直，最后证明线面垂直。11.如图，三棱锥中，平面，且为边长等于2的正三角形，则 与平面所成角的正弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先过A点作出高线，利用等体积法先求高线，再计算线面角。【详解】过点作垂直于平面的直线，垂足为O，利用等体积法求解。，由此解得， 与平面所成角为，所以,故选B【点睛】本题考查了等体积法和线面角的基本求法，综合性强，在三棱锥中求高线，利用等体积法是一种常见处理手段，计算线面角，先找线面角，要找线面角必找垂线，而求解垂线的基本方法为等体积法或者点到平面的距离公式。12.已知三棱锥的所有棱长都是，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据结论，在正四面体中，外接球的半径R等于倍的棱长a直接计算即可【详解】根据结论在正四面体中，外接球的半径R等于倍的棱长a，可得，根据球的表面积公式，故选A【点睛】本题考查正四面体的外接球，学生应掌握基本结论。二、填空題：请把正确答案填写在答题纸相应的位置上.13.已知和点P满足，则与的面积之比为_.【答案】【解析】【分析】根据向量加法的平行四边形法则得出P为AC中线的中点，由此可得面积的比值。【详解】，故设，根据向量加法的平行四边形法则， O为线段AC的中点，则P为线段BO的中点，所以。【点睛】本题考查向量加法的平行四边形法则，以及相反向量的几何意义，属于基础题。14.如图所示，是水平放置的平面图形的直观图（斜二测画法），若，则的面积是_.【答案】2【解析】【分析】先根据三角形的面积公式求解的面积，利用直观图与原图形面积之比为求解即可。【详解】由图可知：三角形面积为,所以的直观图的面积为，由直观图与原图形面积之比为可知，的面积是2【点睛】本题考查了直观图和原图形面积的关系，学生应熟练掌握结论。15.已知一个圆锥的母线长为2，底面圆的周长为，则过圆锥顶点的截面面积的最大值为_.【答案】2【解析】【分析】先求底面圆的半径，判断出母线夹角的范围，利用截面三角形面积公式求最值即可。【详解】底面圆的周长为，所以半径为，两母线夹角最大为，圆锥的母线长为2，过圆锥顶点的截面面积，所以，当截面中的两圆锥母线夹角为时，截面面积最大为2【点睛】本题是易错题，先求出面积的函数表达式进而判断最大值，学生容易误认为垂直截面为面积的最大值。16.如图，为正方体，下面结论中正确的是_.（把你认为正确的结论都填上）平面；平面；与底面所成角的正切值是；过点与异面直线AD与成角的直线有2条.【答案】【解析】【详解】，因为面，所以，由此平面，故对。由三垂线定理可知，所以面，故对。由可知，为与面的所成角，所以，所以错。在正方体中，所以过与异面直线所成角为与直线所成角。将图形抽象出来如下图所示。由于，所以如下图，有上下两条直线分别直线，所成角为，故与异面直线和成，所以对。【点睛】本题考查线线垂直，线面垂直，判断定理和性质定理，以及异面直线所成角，综合性很强，题目偏难。在使用线线垂直，线面垂直的性质定理时，三垂线定理学生要熟练掌握。求解异面直线所成角的步骤：先平移找到角，再证明，最后求解。三、解答题。17.已知正六棱锥，且， ，求正六棱锥的全面积【答案】【解析】【分析】根据正六棱锥的体积先求体高，再求侧棱，最后求解侧面面积，得解即可。【详解】解：取 的中点 ，连接 ，【点睛】本题考查了，圆锥的表面积，属于基础题，已知体积求表面积是常见考查方式，求解的关键是体高和侧面高线之间的关系。18.如图，圆锥的底面半径为2，母线长（1）求该圆锥体积；（2）若用细绳从底面圆上点绕圆锥一周后回到处，则此时细绳的最短长度为多少?【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据母线和底面半径求解体高，再解体积即可。（2）先将问题细绳从底面圆上点绕圆锥一周后回到处的最短路径，转化为展开图中的距离，即为扇形的弦长，利用余弦定理求解即可。【详解】解：（1）（2）将圆锥沿 侧面展开如图，则为所求弧在中【点睛】本题求解最短路径问题，转化为展开图的线量关系问题，利用几何的位置关系讨论最短的路径，解题的关键是抓住两点间的距离最短这个结论。19.在正项等比数列中，且，成等差数列（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前 项和.【答案】（1）（2）【解析】分析】（1）根据，成等差数列建立方程式求解公比，得出通项公式。（2）根据错位相减求解数列的前 项和。【详解】（1），（2）-得【点睛】本题属于基础题，利用方程求解数列的基本量，进而得出通项公式。等比数列乘等差数列型利用错位相减法求解。20.如图，在四棱锥中，Q是AD的中点，（1）求证：平面平面 ；（2）求直线与平面所成角的正切值【答案】（1）见证明；（2）【解析】【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，根据已知条件证明，进而证明面，最后得出面面垂直。（2）根据面面垂直，证明面，得出为直线与平面所成角，最后求解。【详解】（1）连接 ， 是 的中点四边形是平行四边形又，面，面面，面 面面（2）由（1）知平面平面又平面平面，平面平面则为直线与平面所成的角在中，【点睛】本题考查线线垂直证明线面垂直再得面面垂直，在使用面面垂直的性质定理时，首先找交线，再找线线垂直，最后得出线面垂直。，计算线面角，先利用线面垂直证明线面角，再计算。21.如图，在直三棱柱中，为正三角形， 是的中点， 是的中点（1）证明：平面；（2）求点到平面的距离.【答案】（1）见证明；（2）【解析】【分析】（1）利用为中点，利用中位线得出线线平面，进而得出线面平行。（2）先根据条件求解三棱锥的体积利用等体积法，求解到平面的距离，最后得出到平面【详解】（1）证明在中是的中点，是的中点平面平面平面（2）是的中点到平面的距离为点到平面距离h的一半取的中点 ，点到平面的距离为【点睛】在三棱锥中求点到平面的距离，利用等体积法是一种常见处理手段。