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衡阳市第一中学20202020年上学期高一六科联赛数学试题命题人: 审核人:考试时量:120分钟 考试总分:150分一、选择题(每小题5分,共60分)1.设集合,则等于 A. B. C. D. 2.下列四个说法正确的是A.两两相交的三条直线必在同一平面内B.若四点不共面,则其中任意三点都不共线.C.在空间中,四边相等的四边形是菱形D.在空间中,有三个角是直角的四边形是矩形3.已知a、b表示两条不同的直线,表示两个不同的平面.下列选项中说法正确的是( ).若,则 若,则若,则 若,则A. B. C. D.4.函数的图像大致是 A B C D5设函数是R上的奇函数,当时,则的零点个数是 A.1 B.2 C.3 D.46.若,则等于( )A. B. C. D. 7.如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上,且AB/CD,正方体的六个面所在的平面与直线ED、EF相交的平面个数分别记为m, n,那么m+n=( )A. B. C. D. 8.如图,L、M、N分别为正方体对应棱的中点,则平面LMN与平面PQR的位置关系是( )A.垂直 B.相交不垂直C.平行 D.重合9. 如图所示,点S在平面ABC外,SBAC,SB=AC=2,E、F分别是SC和AB的中点,则EF的长是( ) A. B. C. D. 10.将半径为3,圆心角为120的扇形围成一个圆锥,则该圆锥的内切球的体积为( ) A. B. C. D. 11.若三棱锥P-ABC中,PA平面ABC,ABBC,,PA =AB=2,AC=三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为A. B. C. D. 12.定文在R上的函数满足,且当时,对任意,存在,使得,则实数的取值范围为( )A. B. C. D. 二、填空题(每小题5分,井20分)13.函数的定义城为_.14.在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=3,AD=2,,CC1=1,一条绳子从点A沿表面拉到点C1,则绳子的最短的长度_.15.正方体AC1棱长是1,点E、F是线段DD1,BC1上的动点,则三棱锥E一AA1F体积为_.16.已知函数对任意的实数满足:,且当时,当时,则象与的图象的交点个数为_。三、解答题(解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤)17. (10分)已知集合. (1)若,求实数m的取值范围: (2)若,求实数m的取值范围.18.在四面体ABCD中,过棱AB的上一点E作平行于AD,BC的平面分别交四面体的棱BD,DC,CA于点F,G,H(1)求证:截面EFGH为平行四边形(2)若P、Q在线段BD、AC上,且P、F不重合,证明:PQ截面EFGH19.如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是菱形,DAB=60,PD平面ABCD,PD=AD=1,点E,F分别为AB和PD中点。 (1)求证:直线AF与EC所成角的正弦值;(3)求PE与平面PDB所成角的正弦值。20.已知函数.(1)若,求的单调区间;(2)若在区间上是增函数,求实数的取值范围.21. 如图,多面体ABCDE中,四边形ABED是直角梯形,BAD=90,DEAB,ACD是的正三角形,CD=AB=DE=1,BC=(1)求证:CDE是直角三角形(2) F是CE的中点,证明:BF平面CDE22.已知函数. (1)当时,求满足的的值; (2)若函数是定义在R上的奇函数,函数满足,若对任意且0,不等式恒成立,求实数m的最大值。参考答案一、选择题题号123456789101112答案ABDACDACBAAD二、填空题13. 14. 15. 16. 三、解答题17.解答:(1)集合,AB=B,AB,解得62,实数m的取值范围是6,2. (2)集合,当AB=时,或者m+92,解得m3或m11,AB时,11m3,实数m的取值范围是(11,3).18.(1)证明:,AD平面EFGH,平面ADB平面EHGH=EF,AD平面ABD,ADEFAD平面EHGH,平面ADC平面EHGH=GH,AD平面ADC,. ADGH由平行公理可得EFGH同理可得EHFG四边形EFGH为平行四边形.(2)如图在CD上取点M,使,连接MQ则PMBCFG,则QMADHGPMQM=M平面PMQ平面EHGHPQ平面PMQPQ截面EFGH19. 证明:作FMCD交PC于M.点F为PD中点,FM=CD.AE=AB=FM,AEMF为平行四边形,AFEM,MEC为直线AF与EC所成角或其补角。EM=AF=,MC=,EC=,MEC为RtMECsinMEC= (2)连接AC,BD交于O,连接EG点E,O分别为AB和AC中点。AOEG,AC平面PBD,EG平面PBD,根据直线与平面所成角的定义可得:EPG为PE与平面PDB所成角,RtEGP中,AO=,EG=,DE=,PE=,sinEPG=,20.解 答:(1)当时,要使函数有意义需:,即,解得:或,所以函数定义域为或,设函数,函数开口向上,所以函数在上单调递减,在上单调递增,因为为单调递减函数,所以函数的单调递增区间为,函数的单调递减区间为.综上所述,结论是:函数的单调递减区间为,单调递增区间为。(2)由题意可知:且,设,函数对称轴为:,函数开口向上,当时,因为为关于变量的递增函数,所以要使函数在上是增函数,需要:且在上恒成立,由可得:,由在上恒成立可得: ,即时在上恒成立,即,当时,因为为关于变量的递减函数,所以要使函数在上单调递增,需要且在上恒成立,由可得:,由在上恒成立可得:即时在上恒成立,不存在综上所述,结论是:21.证明(1)BAD=90ABADACD是的正三角形,CD=AB=1,BC=,ABC是直角三角形,ABACAB平面ACDDEABDE平面ACDCDE是直角三角形证明:(2)取CD中点M,连接AM、MF.F是CE的中点AMFB是平行四边形MFAB,AMBFMF平面ACDMF在平面ECD内平面CDE平面ACDACD是的正三角形,M是CD中点AMCD平面CED平面ACD=CD,AM面CDE,AMBF,BF平面CDE22. 解答:(1)当时,.即,解得:或=1(舍去),=2; (2)若函数是定义在R上的奇函数,则,即,即,解得:,或经检验满足函数的定义域为R,.当0时,函数满足,,(0),则,不等式恒成立,即恒成立,即恒成立,设,则,即,恒成立,由对勾函数的图象和性质可得:当时, 取最小值。故,即实数m的最大值为.
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